Номер 15, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

26. Умножение многочлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 15, страница 31.

Условие.

15. Не выполняя умножения многочленов, найдите коэффициент M в произведении

$(x^2 - Mx + 4x^3)(0,2x - \frac{1}{3}x^2 + 20x^3)$,

если известно, что после раскрытия скобок коэффициент при $x^4$ равен 2,8.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти коэффициент при $x^4$ в произведении многочленов $(x^2 - Mx + 4x^3)(0,2x - \frac{1}{3}x^2 + 20x^3)$, нам не нужно перемножать их полностью. Достаточно найти только те пары одночленов из первого и второго многочленов, произведение которых даст член со степенью $x^4$.

Для удобства запишем многочлены, упорядочив члены по убыванию степеней:

Первый многочлен: $4x^3 + x^2 - Mx$

Второй многочлен: $20x^3 - \frac{1}{3}x^2 + 0,2x$

Теперь найдем все комбинации перемножения членов из первого и второго многочленов, которые в результате дадут $x^4$:

1. Умножим член с $x^3$ из первого многочлена на член с $x$ из второго:
$(4x^3) \cdot (0,2x) = 0,8x^4$

2. Умножим член с $x^2$ из первого многочлена на член с $x^2$ из второго:
$(x^2) \cdot (-\frac{1}{3}x^2) = -\frac{1}{3}x^4$

3. Умножим член с $x$ из первого многочлена на член с $x^3$ из второго:
$(-Mx) \cdot (20x^3) = -20Mx^4$

Других комбинаций, дающих $x^4$, нет. Итоговый член с $x^4$ в произведении равен сумме полученных членов: $0,8x^4 - \frac{1}{3}x^4 - 20Mx^4 = (0,8 - \frac{1}{3} - 20M)x^4$.

Следовательно, коэффициент при $x^4$ равен $0,8 - \frac{1}{3} - 20M$. По условию задачи, этот коэффициент равен 2,8. Составим и решим уравнение:

$0,8 - \frac{1}{3} - 20M = 2,8$

Выразим $20M$:

$-20M = 2,8 - 0,8 + \frac{1}{3}$

$-20M = 2 + \frac{1}{3}$

$-20M = \frac{6}{3} + \frac{1}{3}$

$-20M = \frac{7}{3}$

Теперь найдем $M$:

$M = \frac{7}{3 \cdot (-20)}$

$M = -\frac{7}{60}$

Ответ: $-\frac{7}{60}$