Номер 14, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

26. Умножение многочлена на многочлен. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 14, страница 31.

Условие.

14. Докажите, что значение выражения

$(b-2)(b^2-3b+6)-(5-b)(2+b-b^2)-b(b+9)$

не зависит от значения переменной $b$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $b$, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения получится число (константа), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$(b-2)(b^2 - 3b + 6) - (5 - b)(2 + b - b^2) - b(b + 9)$

Упростим его, последовательно раскрывая скобки в каждом слагаемом.

1. Раскроем скобки в первом произведении $(b-2)(b^2 - 3b + 6)$:

$(b-2)(b^2 - 3b + 6) = b \cdot (b^2 - 3b + 6) - 2 \cdot (b^2 - 3b + 6) = b^3 - 3b^2 + 6b - 2b^2 + 6b - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-3b^2 - 2b^2) + (6b + 6b) - 12 = b^3 - 5b^2 + 12b - 12$

2. Раскроем скобки во втором произведении $(5 - b)(2 + b - b^2)$:

$(5 - b)(2 + b - b^2) = 5 \cdot (2 + b - b^2) - b \cdot (2 + b - b^2) = 10 + 5b - 5b^2 - 2b - b^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-5b^2 - b^2) + (5b - 2b) + 10 = b^3 - 6b^2 + 3b + 10$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом $b(b+9)$:

$b(b+9) = b^2 + 9b$

4. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(b^3 - 5b^2 + 12b - 12) - (b^3 - 6b^2 + 3b + 10) - (b^2 + 9b)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$b^3 - 5b^2 + 12b - 12 - b^3 + 6b^2 - 3b - 10 - b^2 - 9b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (-5b^2 + 6b^2 - b^2) + (12b - 3b - 9b) + (-12 - 10)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 \cdot b^3 + 0 \cdot b^2 + 0 \cdot b - 22 = -22$

В результате упрощения мы получили число $-22$. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $b$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $b$.

Ответ: значение выражения равно $-22$ и не зависит от значения переменной $b$.