Страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

2. На верхней полке было $x$ книг, что вдвое меньше, чем на нижней. После того как 10 книг переставили с нижней полки на верхнюю, книг на полках оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество книг, которое изначально было на верхней полке.

По условию, на верхней полке было вдвое меньше книг, чем на нижней. Это означает, что на нижней полке было в 2 раза больше книг, то есть $2x$ книг.

Затем с нижней полки переставили 10 книг на верхнюю. После этого количество книг на полках изменилось:

• На верхней полке стало: $x + 10$ книг.
• На нижней полке стало: $2x - 10$ книг.

В задаче сказано, что после этого количество книг на полках стало поровну. Мы можем приравнять выражения для количества книг на каждой полке:

$x + 10 = 2x - 10$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а свободные члены — в другую:

$10 + 10 = 2x - x$

$20 = x$

Мы нашли, что $x = 20$. Это означает, что изначально на верхней полке было 20 книг.

Теперь найдем, сколько книг было на нижней полке. Мы знаем, что их было в 2 раза больше:

$2x = 2 \cdot 20 = 40$

Итак, изначально на нижней полке было 40 книг.

Проверка:

Изначально: на верхней полке 20 книг, на нижней 40. Число 20 вдвое меньше 40, что соответствует условию.

После перемещения 10 книг: на верхней полке станет $20 + 10 = 30$ книг, а на нижней останется $40 - 10 = 30$ книг. На обеих полках стало по 30 книг, то есть поровну. Условие выполняется.

Ответ: изначально на верхней полке было 20 книг, а на нижней — 40 книг.

3. За 4 ч моторная лодка проходит по течению реки тот же путь, что за 5 ч по озеру. Определите скорость лодки при движении по озеру, если известно, что скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки при движении по озеру.

v, км/ч t, ч s, км

По озеру $x$

По течению реки $x+4$

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки при движении по озеру. Скорость лодки при движении по озеру является ее собственной скоростью, так как в озере нет течения.

Скорость течения реки составляет 4 км/ч. Следовательно, скорость лодки по течению реки будет равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $(x + 4)$ км/ч.

Заполним таблицу, используя данные из условия и формулу расстояния $s = v \cdot t$ (расстояние равно скорости, умноженной на время):

Согласно условию задачи, за 4 ч по течению реки лодка проходит тот же путь, что и за 5 ч по озеру. Это означает, что расстояния, пройденные в обоих случаях, равны. Мы можем составить уравнение:

$5x = 4(x + 4)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$5x = 4x + 16$

Затем перенесем член с переменной $x$ из правой части в левую, изменив его знак:

$5x - 4x = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x = 16$

За $x$ мы принимали скорость лодки при движении по озеру. Следовательно, искомая скорость равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

13. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат наибольшего из них на 25 больше произведения двух остальных чисел.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа равны $n$, $n+1$ и $n+2$. Поскольку числа являются натуральными, $n$ должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.

Наибольшее из этих чисел — это $n+2$. Его квадрат равен $(n+2)^2$.

Два остальных числа — это $n$ и $n+1$. Их произведение равно $n(n+1)$.

Согласно условию задачи, квадрат наибольшего числа на 25 больше произведения двух остальных. Это можно записать в виде уравнения:

$(n+2)^2 = n(n+1) + 25$

Для решения уравнения раскроем скобки в обеих его частях:

$n^2 + 4n + 4 = n^2 + n + 25$

Теперь перенесем все члены, содержащие переменную $n$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе член меняет свой знак на противоположный.

$n^2 - n^2 + 4n - n = 25 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3n = 21$

Найдем $n$, разделив обе части уравнения на 3:

$n = \frac{21}{3}$

$n = 7$

Мы нашли первое число. Теперь найдем два следующих:

Второе число: $n + 1 = 7 + 1 = 8$

Третье число: $n + 2 = 7 + 2 = 9$

Таким образом, искомые числа: 7, 8, 9.

Проверим, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи. Квадрат наибольшего числа $9$ равен $9^2 = 81$. Произведение двух остальных чисел $7$ и $8$ равно $7 \cdot 8 = 56$. Разница между ними составляет $81 - 56 = 25$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 7, 8, 9.

14. Докажите, что значение выражения

$(b-2)(b^2-3b+6)-(5-b)(2+b-b^2)-b(b+9)$

не зависит от значения переменной $b$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $b$, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения получится число (константа), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$(b-2)(b^2 - 3b + 6) - (5 - b)(2 + b - b^2) - b(b + 9)$

Упростим его, последовательно раскрывая скобки в каждом слагаемом.

1. Раскроем скобки в первом произведении $(b-2)(b^2 - 3b + 6)$:

$(b-2)(b^2 - 3b + 6) = b \cdot (b^2 - 3b + 6) - 2 \cdot (b^2 - 3b + 6) = b^3 - 3b^2 + 6b - 2b^2 + 6b - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-3b^2 - 2b^2) + (6b + 6b) - 12 = b^3 - 5b^2 + 12b - 12$

2. Раскроем скобки во втором произведении $(5 - b)(2 + b - b^2)$:

$(5 - b)(2 + b - b^2) = 5 \cdot (2 + b - b^2) - b \cdot (2 + b - b^2) = 10 + 5b - 5b^2 - 2b - b^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-5b^2 - b^2) + (5b - 2b) + 10 = b^3 - 6b^2 + 3b + 10$

3. Раскроем скобки в третьем слагаемом $b(b+9)$:

$b(b+9) = b^2 + 9b$

4. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:

$(b^3 - 5b^2 + 12b - 12) - (b^3 - 6b^2 + 3b + 10) - (b^2 + 9b)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$b^3 - 5b^2 + 12b - 12 - b^3 + 6b^2 - 3b - 10 - b^2 - 9b$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 - b^3) + (-5b^2 + 6b^2 - b^2) + (12b - 3b - 9b) + (-12 - 10)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 \cdot b^3 + 0 \cdot b^2 + 0 \cdot b - 22 = -22$

В результате упрощения мы получили число $-22$. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $b$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $b$.

Ответ: значение выражения равно $-22$ и не зависит от значения переменной $b$.

15. Не выполняя умножения многочленов, найдите коэффициент M в произведении

$(x^2 - Mx + 4x^3)(0,2x - \frac{1}{3}x^2 + 20x^3)$,

если известно, что после раскрытия скобок коэффициент при $x^4$ равен 2,8.

Чтобы найти коэффициент при $x^4$ в произведении многочленов $(x^2 - Mx + 4x^3)(0,2x - \frac{1}{3}x^2 + 20x^3)$, нам не нужно перемножать их полностью. Достаточно найти только те пары одночленов из первого и второго многочленов, произведение которых даст член со степенью $x^4$.

Для удобства запишем многочлены, упорядочив члены по убыванию степеней:

Первый многочлен: $4x^3 + x^2 - Mx$

Второй многочлен: $20x^3 - \frac{1}{3}x^2 + 0,2x$

Теперь найдем все комбинации перемножения членов из первого и второго многочленов, которые в результате дадут $x^4$:

1. Умножим член с $x^3$ из первого многочлена на член с $x$ из второго:
$(4x^3) \cdot (0,2x) = 0,8x^4$

2. Умножим член с $x^2$ из первого многочлена на член с $x^2$ из второго:
$(x^2) \cdot (-\frac{1}{3}x^2) = -\frac{1}{3}x^4$

3. Умножим член с $x$ из первого многочлена на член с $x^3$ из второго:
$(-Mx) \cdot (20x^3) = -20Mx^4$

Других комбинаций, дающих $x^4$, нет. Итоговый член с $x^4$ в произведении равен сумме полученных членов: $0,8x^4 - \frac{1}{3}x^4 - 20Mx^4 = (0,8 - \frac{1}{3} - 20M)x^4$.

Следовательно, коэффициент при $x^4$ равен $0,8 - \frac{1}{3} - 20M$. По условию задачи, этот коэффициент равен 2,8. Составим и решим уравнение:

$0,8 - \frac{1}{3} - 20M = 2,8$

Выразим $20M$:

$-20M = 2,8 - 0,8 + \frac{1}{3}$

$-20M = 2 + \frac{1}{3}$

$-20M = \frac{6}{3} + \frac{1}{3}$

$-20M = \frac{7}{3}$

Теперь найдем $M$:

$M = \frac{7}{3 \cdot (-20)}$

$M = -\frac{7}{60}$

Ответ: $-\frac{7}{60}$