Страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

6. Решите уравнение:

а) $7x - 6,3 = 0;$

б) $1 - 9x = 0;$

в) $-x + 4,2 = -0,8;$

г) $16,2 - x = -13,5.$

а) $7x - 6,3 = 0$

Для решения этого линейного уравнения необходимо изолировать переменную $x$. Сначала перенесем свободный член (число без переменной) в правую часть уравнения. При переносе через знак равенства знак числа меняется на противоположный.

$7x = 0 + 6,3$

$7x = 6,3$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7.

$x = \frac{6,3}{7}$

$x = 0,9$

Ответ: 0,9

б) $1 - 9x = 0$

Перенесем член, содержащий $x$, в правую часть уравнения, чтобы его коэффициент стал положительным. Либо можно перенести 1 вправо.

$-9x = -1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -9.

$x = \frac{-1}{-9}$

$x = \frac{1}{9}$

Данную дробь можно оставить в таком виде, так как в десятичном представлении она является бесконечной периодической.

Ответ: $\frac{1}{9}$

в) $-x + 4,2 = -0,8$

Изолируем член с переменной $x$. Для этого перенесем число 4,2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$-x = -0,8 - 4,2$

Выполним сложение двух отрицательных чисел в правой части.

$-x = -5$

Чтобы найти $x$, умножим (или разделим) обе части уравнения на -1.

$x = 5$

Ответ: 5

г) $16,2 - x = -13,5$

Чтобы найти вычитаемое $x$, можно из уменьшаемого (16,2) вычесть разность (-13,5). Другой способ — изолировать $-x$, перенеся 16,2 в правую часть со сменой знака.

$-x = -13,5 - 16,2$

Сложим два отрицательных числа в правой части.

$-x = -29,7$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы найти $x$.

$x = 29,7$

Ответ: 29,7

7. При каком значении $p$ значения выражений $3p - 1$ и $5p + 7:

а) равны;

б) являются противоположными числами?

а) равны;

Чтобы найти значение p, при котором значения выражений $3p - 1$ и $5p + 7$ равны, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное линейное уравнение.

Составим уравнение:
$3p - 1 = 5p + 7$

Перенесем слагаемые с переменной p в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$3p - 5p = 7 + 1$

Упростим обе части уравнения, приведя подобные слагаемые:
$-2p = 8$

Чтобы найти p, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на -2:
$p = \frac{8}{-2}$
$p = -4$

Сделаем проверку. Подставим найденное значение $p = -4$ в исходные выражения:
Первое выражение: $3(-4) - 1 = -12 - 1 = -13$.
Второе выражение: $5(-4) + 7 = -20 + 7 = -13$.
Так как $-13 = -13$, решение найдено верно.

Ответ: при $p = -4$.

б) являются противоположными числами?

Противоположными называются числа, сумма которых равна нулю. Следовательно, чтобы найти значение p, при котором выражения $3p - 1$ и $5p + 7$ являются противоположными числами, нужно составить уравнение, в котором их сумма равна нулю.

Составим уравнение:
$(3p - 1) + (5p + 7) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3p - 1 + 5p + 7 = 0$
$(3p + 5p) + (-1 + 7) = 0$
$8p + 6 = 0$

Решим полученное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$8p = -6$

Разделим обе части уравнения на 8:
$p = \frac{-6}{8}$

Сократим полученную дробь на 2:
$p = -\frac{3}{4}$

Сделаем проверку. Подставим найденное значение $p = -\frac{3}{4}$ в исходные выражения:
Первое выражение: $3(-\frac{3}{4}) - 1 = -\frac{9}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{13}{4}$.
Второе выражение: $5(-\frac{3}{4}) + 7 = -\frac{15}{4} + \frac{28}{4} = \frac{13}{4}$.
Сумма полученных значений: $-\frac{13}{4} + \frac{13}{4} = 0$. Числа являются противоположными, решение найдено верно.

Ответ: при $p = -\frac{3}{4}$.

8. При каком значении $t$ значение выражения $5t-1$ на 3,5 больше значения выражения $2-t$?

Чтобы найти значение переменной $t$, при котором значение выражения $5t-1$ на 3,5 больше значения выражения $2-t$, нужно составить уравнение. Условие "выражение A больше выражения B на C" можно записать в виде уравнения: $A = B + C$ или $A - B = C$.

Используем второй вариант и составим уравнение:

$(5t-1) - (2-t) = 3,5$

Теперь решим это линейное уравнение. Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$5t - 1 - 2 + t = 3,5$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: сгруппируем слагаемые с переменной $t$ и числовые слагаемые.

$(5t + t) + (-1 - 2) = 3,5$

$6t - 3 = 3,5$

Теперь перенесем слагаемое $-3$ из левой части в правую, изменив его знак на "+":

$6t = 3,5 + 3$

$6t = 6,5$

Для того чтобы найти $t$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 6:

$t = \frac{6,5}{6}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$t = \frac{6,5 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{65}{60}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$t = \frac{65 \div 5}{60 \div 5} = \frac{13}{12}$

Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $t = 1 \frac{1}{12}$.

Проверка:

Подставим найденное значение $t = \frac{13}{12}$ в оба исходных выражения.

1. Значение первого выражения: $5t - 1 = 5 \cdot (\frac{13}{12}) - 1 = \frac{65}{12} - \frac{12}{12} = \frac{53}{12}$.

2. Значение второго выражения: $2 - t = 2 - \frac{13}{12} = \frac{24}{12} - \frac{13}{12} = \frac{11}{12}$.

Теперь найдем разность между значением первого и второго выражений:

$\frac{53}{12} - \frac{11}{12} = \frac{53-11}{12} = \frac{42}{12}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3,5$

Разность действительно равна 3,5, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\frac{13}{12}$

9. Решите уравнение:

а) $(3y-1)-(2y+4)+y=33;$

б) $15x=(6x-1)-(x+18);$

в) $17p-8-(p+7)+15p=0;$

г) $(6m-4)-(7m+7)-m=1.$

а)

Решим уравнение $(3y - 1) - (2y + 4) + y = 33$.

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$3y - 1 - 2y - 4 + y = 33$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые (константы).

$(3y - 2y + y) + (-1 - 4) = 33$

Выполним действия в скобках.

$2y - 5 = 33$

Перенесем константу $-5$ в правую часть уравнения, изменив ее знак на противоположный.

$2y = 33 + 5$

$2y = 38$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 2.

$y = \frac{38}{2}$

$y = 19$

Ответ: $y = 19$

б)

Решим уравнение $15x = (6x - 1) - (x + 18)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения.

$15x = 6x - 1 - x - 18$

Приведем подобные слагаемые в правой части.

$15x = (6x - x) + (-1 - 18)$

$15x = 5x - 19$

Перенесем слагаемое $5x$ из правой части в левую со сменой знака.

$15x - 5x = -19$

$10x = -19$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы найти $x$.

$x = \frac{-19}{10}$

$x = -1.9$

Ответ: $x = -1.9$

в)

Решим уравнение $17p - 8 - (p + 7) + 15p = 0$.

Раскроем скобки.

$17p - 8 - p - 7 + 15p = 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(17p - p + 15p) + (-8 - 7) = 0$

$31p - 15 = 0$

Перенесем константу $-15$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$31p = 15$

Найдем $p$, разделив обе части на 31.

$p = \frac{15}{31}$

Ответ: $p = \frac{15}{31}$

г)

Решим уравнение $(6m - 4) - (7m + 7) - m = 1$.

Раскроем скобки.

$6m - 4 - 7m - 7 - m = 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(6m - 7m - m) + (-4 - 7) = 1$

$-2m - 11 = 1$

Перенесем $-11$ в правую часть уравнения.

$-2m = 1 + 11$

$-2m = 12$

Найдем $m$, разделив обе части уравнения на -2.

$m = \frac{12}{-2}$

$m = -6$

Ответ: $m = -6$

2. Представьте выражение в виде многочлена и упростите результат:

$(8d^2 - 5d)(2d + 7) = 8d^2 \cdot 2d - 5d \cdot 2d + 8d^2 \cdot 7 - 5d \cdot 7 = 16d^3 \underline{- 10d^2} \underline{+ 56d^2} - 35d = 16d^3 + 46d^2 - 35d$

a) $(b - 4)(b - 3) = $

б) $(12x + 5)(2 - 3x) = $

в) $(4c^2 - 3c)(5c - 8) = $

г) $(2a - 7a^2)(3a - 1) = $

а) Для того чтобы представить выражение $(b - 4)(b - 3)$ в виде многочлена, нужно каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена. Этот процесс называется раскрытием скобок.
$(b - 4)(b - 3) = b \cdot b + b \cdot (-3) - 4 \cdot b - 4 \cdot (-3) = b^2 - 3b - 4b + 12$.
Теперь упростим результат, приведя подобные слагаемые (члены, содержащие переменную $b$ в одной и той же степени):
$b^2 + (-3b - 4b) + 12 = b^2 - 7b + 12$.
Ответ: $b^2 - 7b + 12$

б) Раскроем скобки в выражении $(12x + 5)(2 - 3x)$, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(12x + 5)(2 - 3x) = 12x \cdot 2 + 12x \cdot (-3x) + 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-3x) = 24x - 36x^2 + 10 - 15x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Для удобства расположим члены многочлена в стандартном виде, то есть в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-36x^2 + (24x - 15x) + 10 = -36x^2 + 9x + 10$.
Ответ: $-36x^2 + 9x + 10$

в) Представим выражение $(4c^2 - 3c)(5c - 8)$ в виде многочлена. Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(4c^2 - 3c)(5c - 8) = 4c^2 \cdot 5c + 4c^2 \cdot (-8) - 3c \cdot 5c - 3c \cdot (-8) = 20c^3 - 32c^2 - 15c^2 + 24c$.
Упростим, приведя подобные слагаемые (члены с $c^2$):
$20c^3 + (-32c^2 - 15c^2) + 24c = 20c^3 - 47c^2 + 24c$.
Ответ: $20c^3 - 47c^2 + 24c$

г) Раскроем скобки в выражении $(2a - 7a^2)(3a - 1)$:
$(2a - 7a^2)(3a - 1) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot (-1) - 7a^2 \cdot 3a - 7a^2 \cdot (-1) = 6a^2 - 2a - 21a^3 + 7a^2$.
Приведем подобные слагаемые и расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $a$:
$-21a^3 + (6a^2 + 7a^2) - 2a = -21a^3 + 13a^2 - 2a$.
Ответ: $-21a^3 + 13a^2 - 2a$

3. Не выполняя умножения многочленов, заполните пропуски.

Произведение многочленов $4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $3x^2y - 2xy^3 + 1$

является многочленом ......... степени, содержащим ......... одночленов.

Для решения задачи не требуется выполнять полное умножение многочленов. Вместо этого проанализируем свойства данных многочленов: $P_1 = 4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ и $P_2 = 3x^2y - 2xy^3 + 1$.

степени

Степень многочлена определяется наивысшей степенью его одночленов, а степень одночлена — это сумма показателей степеней его переменных. Сначала найдем степени исходных многочленов. Для $P_1 = 4x^3 - 8x^2y^4 + y^5 + 1$ степени его членов равны 3, $2+4=6$, 5 и 0. Наибольшая из них – 6, значит, степень $P_1$ равна 6. Для $P_2 = 3x^2y - 2xy^3 + 1$ степени его членов равны $2+1=3$, $1+3=4$ и 0. Наибольшая из них – 4, значит, степень $P_2$ равна 4. Степень произведения многочленов равна сумме их степеней, если произведение членов с наивысшей степенью не сокращается. В нашем случае это произведение равно $(-8x^2y^4) \cdot (-2xy^3) = 16x^3y^7$. Этот член имеет степень $3+7=10$ и не может быть сокращен, так как он уникален. Следовательно, степень результирующего многочлена равна сумме степеней исходных: $6 + 4 = 10$.

Ответ: 10-й (десятой).

одночленов

Количество одночленов в произведении (до приведения подобных) равно произведению количеств одночленов в сомножителях. Многочлен $P_1$ состоит из 4 одночленов, а многочлен $P_2$ — из 3. Таким образом, в их произведении будет $4 \times 3 = 12$ одночленов. Необходимо проверить, есть ли среди них подобные (с одинаковой буквенной частью), которые можно было бы сложить. Проанализируем буквенные части, которые получатся при умножении: от умножения на $4x^3$ получатся $x^5y, x^4y^3, x^3$; от умножения на $-8x^2y^4$ получатся $x^4y^5, x^3y^7, x^2y^4$; от умножения на $y^5$ получатся $x^2y^6, xy^8, y^5$; от умножения на 1 получатся $x^2y, xy^3$ и константа. Все 12 полученных буквенных частей различны. Следовательно, подобных членов нет, и после раскрытия скобок в многочлене останется 12 одночленов.

Ответ: 12.

4. Упростите выражение:

a) $(4c - 3)(2 - 5c) + 20c^2 = $

б) $(x - 2y)(x + 2y) - (x + 1)(x - 3) = $

в) $6x^3 - (x - 3y)(5 + 6x^2) = $

а) Чтобы упростить выражение $(4c - 3)(2 - 5c) + 20c^2$, сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(4c - 3)$ и $(2 - 5c)$, используя правило "каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого":
$(4c - 3)(2 - 5c) = 4c \cdot 2 + 4c \cdot (-5c) - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-5c) = 8c - 20c^2 - 6 + 15c$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$(8c - 20c^2 - 6 + 15c) + 20c^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-20c^2 + 20c^2) + (8c + 15c) - 6 = 0 + 23c - 6 = 23c - 6$.
Ответ: $23c - 6$

б) Для упрощения выражения $(x - 2y)(x + 2y) - (x + 1)(x - 3)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения и раскроем скобки.
Первое произведение, $(x - 2y)(x + 2y)$, является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее:
$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.
Второе произведение, $(x + 1)(x - 3)$, раскроем перемножением:
$(x + 1)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 - 4y^2) - (x^2 - 2x - 3)$.
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними, и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4y^2 - x^2 + 2x + 3 = (x^2 - x^2) - 4y^2 + 2x + 3 = 2x - 4y^2 + 3$.
Ответ: $2x - 4y^2 + 3$

в) Упростим выражение $6x^3 - (x - 3y)(5 + 6x^2)$. Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(x - 3y)$ и $(5 + 6x^2)$:
$(x - 3y)(5 + 6x^2) = x \cdot 5 + x \cdot 6x^2 - 3y \cdot 5 - 3y \cdot 6x^2 = 5x + 6x^3 - 15y - 18x^2y$.
Подставим результат в исходное выражение:
$6x^3 - (5x + 6x^3 - 15y - 18x^2y)$.
Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные, и приведем подобные слагаемые:
$6x^3 - 5x - 6x^3 + 15y + 18x^2y = (6x^3 - 6x^3) - 5x + 15y + 18x^2y = -5x + 15y + 18x^2y$.
Для стандартного вида запишем в порядке убывания степеней $x$: $18x^2y - 5x + 15y$.
Ответ: $18x^2y - 5x + 15y$