Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Миндюк, Шлыкова

10. Найдите корень уравнения:

а) $(18x - 11) - (10x + 6) = 6x;$

б) $(0,3y + 1,1) - (0,5y + 1) = 5,6 - y.$

а) $(18x - 11) - (10x + 6) = 6x$

Для решения этого линейного уравнения сначала необходимо раскрыть скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные.

$18x - 11 - 10x - 6 = 6x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(18x - 10x) + (-11 - 6) = 6x$

$8x - 17 = 6x$

Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую. Перенесем $6x$ из правой части в левую со знаком минус, а $-17$ из левой части в правую со знаком плюс.

$8x - 6x = 17$

Выполним вычитание в левой части:

$2x = 17$

Чтобы найти корень уравнения, разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{17}{2}$

$x = 8,5$

Ответ: $8,5$.

б) $(0,3y + 1,1) - (0,5y + 1) = 5,6 - y$

Начнем с раскрытия скобок в левой части уравнения. Знак минус перед второй скобкой меняет знаки слагаемых внутри нее.

$0,3y + 1,1 - 0,5y - 1 = 5,6 - y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(0,3y - 0,5y) + (1,1 - 1) = 5,6 - y$

$-0,2y + 0,1 = 5,6 - y$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$-0,2y + y = 5,6 - 0,1$

Выполним сложение и вычитание в обеих частях уравнения:

$0,8y = 5,5$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на $0,8$:

$y = \frac{5,5}{0,8}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$y = \frac{55}{8}$

Теперь разделим 55 на 8:

$y = 6,875$

Ответ: $6,875$.

11. Не решая уравнения $-1\frac{1}{7}x=0,8$, составьте два каких-либо уравнения, равносильных ему.

Равносильные уравнения — это уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (одинаковые корни). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, не решая его, можно выполнить равносильное преобразование.

К таким преобразованиям относятся:

• Преобразование (упрощение) любой из частей уравнения.
• Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака.
• Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Исходное уравнение: $-1\frac{1}{7}x=0,8$.

Пример 1.

Преобразуем коэффициенты в уравнении. Представим смешанное число $-1\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби, а десятичную дробь $0,8$ в виде обыкновенной.

$-1\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{8}{7}$

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Подставив полученные дроби в исходное уравнение, мы получим равносильное ему уравнение, так как мы лишь изменили форму записи чисел, не меняя их значений.

Ответ: $-\frac{8}{7}x = \frac{4}{5}$.

Пример 2.

Выполним другое равносильное преобразование: перенесем слагаемое $0,8$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный.

Исходное уравнение: $-1\frac{1}{7}x = 0,8$.

Переносим $0,8$ влево:

$-1\frac{1}{7}x - 0,8 = 0$

Это уравнение также является равносильным исходному.

Ответ: $-1\frac{1}{7}x - 0,8 = 0$.

12. Найдите натуральные значения $b$, при которых корень уравнения $b(2x-3)+3(b-2)=16$ является натуральным числом.

По условию задачи, нам нужно найти все натуральные значения $b$, при которых корень $x$ уравнения $b(2x - 3) + 3(b - 2) = 16$ также является натуральным числом. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$.

Для начала преобразуем данное уравнение, чтобы выразить $x$ через $b$. Раскроем скобки в уравнении:
$2bx - 3b + 3b - 6 = 16$

Упростим левую часть, так как $-3b$ и $+3b$ взаимно уничтожаются:
$2bx - 6 = 16$

Перенесем $-6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2bx = 16 + 6$
$2bx = 22$

Теперь выразим $x$. Поскольку $b$ — натуральное число, оно не равно нулю ($b \ge 1$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $2b$:
$x = \frac{22}{2b}$
Сократим дробь:
$x = \frac{11}{b}$

По условию, корень $x$ должен быть натуральным числом. Чтобы выражение $x = \frac{11}{b}$ давало в результате натуральное число, необходимо, чтобы знаменатель $b$ был натуральным делителем числителя 11.

Число 11 является простым, поэтому у него есть только два натуральных делителя: 1 и 11.

Рассмотрим оба возможных значения для $b$:
1. Если $b = 1$, то корень уравнения $x = \frac{11}{1} = 11$. Так как 11 — натуральное число, это значение $b$ подходит.
2. Если $b = 11$, то корень уравнения $x = \frac{11}{11} = 1$. Так как 1 — натуральное число, это значение $b$ также подходит.

Следовательно, существуют два натуральных значения $b$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 1, 11.

5. Решите уравнение:

а) $(2x + 9)(4x - 1) - 8x^2 = 59;$

б) $(y - 8)(y - 2) = (1 + y)(4 + y) + 57.$

а) $(2x+9)(4x-1)-8x^2=59$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив двучлены $(2x+9)$ и $(4x-1)$:

$(2x \cdot 4x) + (2x \cdot (-1)) + (9 \cdot 4x) + (9 \cdot (-1)) - 8x^2 = 59$

$8x^2 - 2x + 36x - 9 - 8x^2 = 59$

Приведем подобные слагаемые. Члены $8x^2$ и $-8x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-2x + 36x) - 9 = 59$

$34x - 9 = 59$

Перенесем число -9 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$34x = 59 + 9$

$34x = 68$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 34:

$x = \frac{68}{34}$

$x = 2$

Ответ: 2

б) $(y-8)(y-2)=(1+y)(4+y)+57$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части:

$(y-8)(y-2) = y^2 - 2y - 8y + 16 = y^2 - 10y + 16$

В правой части:

$(1+y)(4+y) + 57 = (y+1)(y+4) + 57 = (y^2 + 4y + y + 4) + 57 = y^2 + 5y + 4 + 57 = y^2 + 5y + 61$

Теперь приравняем полученные выражения:

$y^2 - 10y + 16 = y^2 + 5y + 61$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения. Затем перенесем все слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-10y + 16 = 5y + 61$

$16 - 61 = 5y + 10y$

$-45 = 15y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 15:

$y = \frac{-45}{15}$

$y = -3$

Ответ: -3

6. Найдите значение выражения $(2x - 5)(3x + 2) - 6x^2$ при $x = -2$.

Для нахождения значения выражения $(2x - 5)(3x + 2) - 6x^2$ при $x = -2$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:

$(2x - 5)(3x + 2) - 6x^2 = (2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 - 5 \cdot 3x - 5 \cdot 2) - 6x^2 = 6x^2 + 4x - 15x - 10 - 6x^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $6x^2$ и $-6x^2$ взаимно уничтожаются:

$(6x^2 - 6x^2) + (4x - 15x) - 10 = 0 - 11x - 10 = -11x - 10$

После упрощения мы получили выражение $-11x - 10$. Теперь подставим в него значение $x = -2$:

$-11 \cdot (-2) - 10 = 22 - 10 = 12$

Ответ: 12