Номер 12, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова

25. Вынесение общего множителя за скобки. Глава IV. Многочлены. Часть 2 - номер 12, страница 24.

Условие.

12. Докажите, что при любом натуральном ($n>1$):

а) значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31;

б) значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n$ кратно 31, преобразуем его. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени. В данном случае это $6^n$.

Используем свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$:

$6^{n+2} - 6^{n+1} + 6^n = 6^n \cdot 6^2 - 6^n \cdot 6^1 + 6^n \cdot 1$

Выносим $6^n$ за скобки:

$= 6^n(6^2 - 6^1 + 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$6^2 - 6 + 1 = 36 - 6 + 1 = 31$

Таким образом, исходное выражение равно $6^n \cdot 31$.

Так как $n$ - натуральное число ($n > 1$), то $6^n$ является натуральным числом. Произведение $6^n \cdot 31$ содержит множитель 31, следовательно, все выражение делится на 31 без остатка при любом натуральном $n>1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3}$ кратно 71, поступим аналогичным образом. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени. Наименьший показатель в данном случае это $2n-3$.

Используем свойство степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$:

$9^{2n-1} - 9^{2n-2} - 9^{2n-3} = 9^{(2n-3)+2} - 9^{(2n-3)+1} - 9^{2n-3} \cdot 1$

Выносим $9^{2n-3}$ за скобки:

$= 9^{2n-3}(9^2 - 9^1 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$9^2 - 9 - 1 = 81 - 9 - 1 = 71$

Таким образом, исходное выражение равно $9^{2n-3} \cdot 71$.

Поскольку по условию $n$ - натуральное число и $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), показатель степени $2n-3$ будет натуральным числом (например, при $n=2$ он равен $2 \cdot 2 - 3 = 1$). Следовательно, $9^{2n-3}$ является натуральным числом. Произведение $9^{2n-3} \cdot 71$ имеет множитель 71, а значит, оно кратно 71 при любом натуральном $n>1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.