Число П и точность, страница 43, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Физика и мир, в котором мы живём. Параграф 10. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 43.

Условие.

ЧИСЛО $\pi$ И ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ

В 30-х гг. XX в. появилась история, которую можно было бы назвать «Число $\pi$ для китобоев». В статье биологов описывалась задача из практики китобоев о том, как определить массу пойманного кита путём оценки его объёма и расчёта по определённым формулам. В формулах, которые приводились в справочнике, присутствовало число $\pi$. При этом в таблицах со значениями констант якобы было сказано, что «для гренландских китов число $\pi$ равно трём».

В школе на уроках математики вы узнали, что число $\pi = 3,14$. Однако точное значение этого числа содержит бесконечное количество знаков после запятой.

Пусть у нас имеется окружность и мы можем измерить её диаметр с помощью линейки и с помощью штангенциркуля. С какой точностью мы можем определить длину этой окружности? Как правильно записать найденную длину окружности с учётом погрешности измерений? Как повлияет на определение этой погрешности количество знаков после запятой в числе $\pi$, которое будет использовано при расчётах?

НАУЧНАЯ СПРАВКА. Число $\pi$ (пи) — математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Она равна приблизительно $3,141592653589793238462643...$ Обозначение этого числа буквой $\pi$ впервые появилось в 1706 г. в работе английского математика Уильяма Джона, а чуть позже его использовал выдающийся швейцарский, немецкий и российский математик Леонард Эйлер в своих работах, получивших мировое признание. Известно, что древнегреческий математик Архимед не только нашёл приближённое значение $\pi = 22/7$, но и установил точность этого приближения.

Этапы выполнения задания

1) Запишите измеренное значение диаметра окружности с учётом погрешности измерения:

• линейкой;

• штангенциркулем.

2) Найдите длину окружности, используя в качестве значений числа $\pi$:

• $\pi = 3$;

• $\pi = 3,1$;

• $\pi = 3,14$;

• $\pi = 3,1415$.

3) Запишите найденные значения с учётом погрешности измерений.

4) Обсудите полученные результаты.

Решение.

Поскольку данное задание представляет собой практическую работу, для его выполнения необходимо провести реальные измерения. Так как это невозможно в данном формате, мы проведём симуляцию измерений и на их основе выполним все расчёты и выводы.

Допустим, у нас есть окружность (например, крышка от банки), и мы измерили её диаметр двумя способами.

1) Запишите измеренное значение диаметра окружности с учётом погрешности измерения:

линейкой;
Обычная линейка имеет цену деления 1 мм. Погрешность прямого измерения принимается равной половине цены деления.
$Δd_{лин} = 1 \text{ мм} / 2 = 0,5 \text{ мм} = 0,05 \text{ см}.$
Допустим, измеренное значение диаметра составило $d = 5,4 \text{ см}$.
Результат измерения записывается как: $d_{лин} = (5,40 ± 0,05) \text{ см}.$

штангенциркулем.
Штангенциркуль имеет цену деления 0,1 мм (или 0,05 мм для более точных). Возьмём стандартный с ценой деления 0,1 мм.
$Δd_{штанг} = 0,1 \text{ мм} / 2 = 0,05 \text{ мм} = 0,005 \text{ см}.$
Допустим, измеренное значение диаметра тем же объектом составило $d = 5,43 \text{ см}$.
Результат измерения записывается как: $d_{штанг} = (5,430 ± 0,005) \text{ см}.$

Ответ: Результат измерения линейкой: $d_{лин} = (5,40 ± 0,05) \text{ см}$. Результат измерения штангенциркулем: $d_{штанг} = (5,430 ± 0,005) \text{ см}$.

2) Найдите длину окружности, используя в качестве значений числа π:

В этом пункте мы проведём вычисления, а в следующем запишем их с учётом погрешностей.

Ответ: Вычисления будут приведены в следующем пункте.

3) Запишите найденные значения с учётом погрешности измерений.

Длина окружности $\text{L}$ вычисляется по формуле $L = πd$. Погрешность результата $ΔL$ для произведения двух величин находится как сумма относительных погрешностей: $ΔL/L = Δπ/π + Δd/d$, откуда абсолютная погрешность $ΔL = L(Δπ/π + Δd/d)$. Погрешность $Δπ$ для приближённого значения принимается равной половине единицы последнего значащего разряда (например, для $π = 3,14$ погрешность $Δπ = 0,005$).

Расчёты для измерения линейкой ($d = 5,40 \text{ см}, Δd = 0,05 \text{ см}$):

• При $π = 3$ ($Δπ = 0,5$):
  $L = 3 \cdot 5,40 = 16,2 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,2 \cdot (0,5/3 + 0,05/5,40) \approx 16,2 \cdot (0,167 + 0,009) \approx 2,85 \text{ см}.$
  $L = (16,2 ± 2,9) \text{ см}.$ Округляя до значащей цифры погрешности, получаем $(16 ± 3) \text{ см}.$
• При $π = 3,1$ ($Δπ = 0,05$):
  $L = 3,1 \cdot 5,40 = 16,74 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,74 \cdot (0,05/3,1 + 0,05/5,40) \approx 16,74 \cdot (0,016 + 0,009) \approx 0,42 \text{ см}.$
  $L = (16,7 ± 0,4) \text{ см}.$
• При $π = 3,14$ ($Δπ = 0,005$):
  $L = 3,14 \cdot 5,40 = 16,956 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,956 \cdot (0,005/3,14 + 0,05/5,40) \approx 16,956 \cdot (0,0016 + 0,0093) \approx 0,18 \text{ см}.$
  $L = (16,96 ± 0,18) \text{ см}.$ Округляя, получаем $(17,0 ± 0,2) \text{ см}.$
• При $π = 3,1415$ ($Δπ = 0,00005$):
  $L = 3,1415 \cdot 5,40 = 16,9641 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,9641 \cdot (0,00005/3,1415 + 0,05/5,40) \approx 16,9641 \cdot (0,000016 + 0,00926) \approx 0,157 \text{ см}.$
  $L = (16,96 ± 0,16) \text{ см}.$ Округляя, получаем $(17,0 ± 0,2) \text{ см}.$

Расчёты для измерения штангенциркулем ($d = 5,430 \text{ см}, Δd = 0,005 \text{ см}$):

• При $π = 3$ ($Δπ = 0,5$):
  $L = 3 \cdot 5,430 = 16,29 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,29 \cdot (0,5/3 + 0,005/5,430) \approx 16,29 \cdot (0,167 + 0,0009) \approx 2,73 \text{ см}.$
  $L = (16,3 ± 2,7) \text{ см}.$
• При $π = 3,1$ ($Δπ = 0,05$):
  $L = 3,1 \cdot 5,430 = 16,833 \text{ см}.$
  $ΔL = 16,833 \cdot (0,05/3,1 + 0,005/5,430) \approx 16,833 \cdot (0,0161 + 0,0009) \approx 0,286 \text{ см}.$
  $L = (16,83 ± 0,29) \text{ см}.$ Округляя, получаем $(16,8 ± 0,3) \text{ см}.$
• При $π = 3,14$ ($Δπ = 0,005$):
  $L = 3,14 \cdot 5,430 = 17,0502 \text{ см}.$
  $ΔL = 17,0502 \cdot (0,005/3,14 + 0,005/5,430) \approx 17,0502 \cdot (0,00159 + 0,00092) \approx 0,043 \text{ см}.$
  $L = (17,050 ± 0,043) \text{ см}.$ Округляя, получаем $(17,05 ± 0,04) \text{ см}.$
• При $π = 3,1415$ ($Δπ = 0,00005$):
  $L = 3,1415 \cdot 5,430 = 17,058345 \text{ см}.$
  $ΔL = 17,058 \cdot (0,00005/3,1415 + 0,005/5,430) \approx 17,058 \cdot (0,000016 + 0,000921) \approx 0,016 \text{ см}.$
  $L = (17,058 ± 0,016) \text{ см}.$

Ответ:
Для линейки: при $π=3, L = (16 ± 3) \text{ см}$; при $π=3,1, L = (16,7 ± 0,4) \text{ см}$; при $π=3,14, L = (17,0 ± 0,2) \text{ см}$; при $π=3,1415, L = (17,0 ± 0,2) \text{ см}$.
Для штангенциркуля: при $π=3, L = (16,3 ± 2,7) \text{ см}$; при $π=3,1, L = (16,8 ± 0,3) \text{ см}$; при $π=3,14, L = (17,05 ± 0,04) \text{ см}$; при $π=3,1415, L = (17,058 ± 0,016) \text{ см}$.

4) Обсудите полученные результаты.

Анализ результатов показывает, как точность исходных данных (измеренного диаметра и константы $π$) влияет на точность конечного результата (длины окружности).

1. Влияние точности $π$. При использовании грубого значения $π = 3$, итоговая погрешность очень велика ($≈2,7-2,9 \text{ см}$), независимо от того, насколько точно был измерен диаметр. Основной вклад в погрешность вносит именно неточность числа $π$. Это делает точное измерение диаметра штангенциркулем практически бессмысленным в данном случае.

2. Влияние точности измерения. При измерении линейкой погрешность измерения диаметра ($Δd = 0,05 \text{ см}$) является значительной. Можно заметить, что при увеличении точности $π$ с 3,14 до 3,1415, итоговая погрешность для линейки не меняется ($(17,0 ± 0,2) \text{ см}$). Это означает, что точность результата ограничена точностью измерительного прибора. Нет смысла использовать очень точное значение $π$, если само измерение грубое.

3. Согласование точности. Наилучший (наиболее точный) результат достигается тогда, когда точность всех используемых в расчётах величин согласована. Для точного измерения штангенциркулем необходимо использовать более точное значение $π$. Мы видим, что при переходе от $π=3,14$ к $π=3,1415$ погрешность для штангенциркуля уменьшилась с $0,04$ см до $0,016$ см, то есть результат стал точнее.

Вывод: Точность конечного результата определяется наименее точным из исходных данных. Для получения точного значения длины окружности необходимо использовать как точный измерительный прибор для диаметра, так и достаточно точное приближение числа $π$. Количество знаков после запятой у константы $π$ должно соответствовать (или немного превышать) точность проведённых измерений.

Ответ: Полученные результаты показывают, что точность вычисления длины окружности зависит как от точности измерения диаметра, так и от точности используемого значения числа $π$. Использование грубого значения $π$ (например, 3) сводит на нет преимущества точного измерительного прибора. И наоборот, использование очень точного значения $π$ не даёт выигрыша в точности, если диаметр измерен грубым прибором (линейкой). Для достижения максимальной точности необходимо согласовывать точность измерений и точность используемых констант.