Измерение толщины листа, страница 40, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Физика и мир, в котором мы живём. Параграф 10. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 40.

Условие.

ИЗМЕРЕНИЕ ТОЛЩИНЫ ЛИСТА ПИСЧЕЙ БУМАГИ. В пачке писчей бумаги содержится 500 листов. Как найти толщину одного листа бумаги при помощи различных измерительных приборов? Как корректно оценить погрешность такого измерения?

Цель работы

Оценить толщину одного листа писчей бумаги и погрешность полученной величины, используя разные измерительные приборы (позволяющие делать измерения с различной точностью).

Помощник

• В качестве оборудования можно использовать металлическую линейку, микрометр или штангенциркуль, пачку писчей бумаги.

• Измерьте толщину пачки бумаги с помощью металлической линейки. По результатам измерения сделайте выводы о толщине одного листа и предположения о погрешности такого измерения.

• Измерьте толщину различных листов бумаги с помощью микрометра или штангенциркуля. По результатам измерения сделайте выводы о толщине одного листа и предположения о погрешности такого измерения.

• Сделайте выводы.

Решение.

Для определения толщины одного листа бумаги и оценки погрешности измерения можно использовать два подхода: косвенное измерение с помощью линейки и прямое измерение с помощью более точного прибора, такого как микрометр или штангенциркуль.

Измерение толщины пачки бумаги с помощью металлической линейки (косвенный метод)

Этот метод заключается в измерении общей толщины стопки из большого количества листов и последующем делении этого значения на количество листов. Такой подход (метод рядов) позволяет значительно снизить относительную погрешность измерения для одного листа.

Дано

Количество листов в пачке, $N = 500$
Толщина пачки (измеренная линейкой), $H = 51$ мм
Цена деления линейки, $ЦД = 1$ мм

$H = 51 \text{ мм} = 0.051 \text{ м}$
$ЦД = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м}$

Найти:

Толщину одного листа бумаги $\text{h}$ и абсолютную погрешность измерения $\Delta h$.

Решение

1. Рассчитаем среднюю толщину одного листа бумаги по формуле:

$h = \frac{H}{N}$

$h = \frac{51 \text{ мм}}{500} = 0.102 \text{ мм}$

2. Оценим погрешность измерения. Инструментальная погрешность измерения линейкой принимается равной половине её цены деления:

$\Delta H_{инстр} = \frac{ЦД}{2} = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0.5 \text{ мм}$

3. Так как количество листов $\text{N}$ является точной величиной, абсолютная погрешность определения толщины одного листа находится путем деления погрешности измерения всей стопки на количество листов:

$\Delta h = \frac{\Delta H_{инстр}}{N} = \frac{0.5 \text{ мм}}{500} = 0.001 \text{ мм}$

4. Запишем окончательный результат в стандартной форме $h \pm \Delta h$, согласовав число знаков после запятой у измеряемой величины и погрешности:

$h = (0.102 \pm 0.001) \text{ мм}$

Ответ: Толщина одного листа, измеренная косвенным методом, составляет $h = (0.102 \pm 0.001) \text{ мм}$.

Измерение толщины листа бумаги с помощью микрометра (прямой метод)

Прямое измерение толщины одного листа проводится с помощью более точного прибора, например, микрометра. Для получения достоверного результата и оценки случайной погрешности необходимо провести несколько измерений в разных точках одного или нескольких листов.

Дано

Проведено 5 измерений ($n=5$) толщины листа в разных местах:
$h_1 = 0.101$ мм
$h_2 = 0.105$ мм
$h_3 = 0.099$ мм
$h_4 = 0.103$ мм
$h_5 = 0.102$ мм
Цена деления микрометра, $ЦД_м = 0.01$ мм

$ЦД_м = 0.01 \text{ мм} = 10^{-5} \text{ м}$

Найти:

Толщину одного листа бумаги $\text{h}$ и абсолютную погрешность измерения $\Delta h$.

Решение

1. Найдем среднее арифметическое значение толщины листа:

$h_{ср} = \frac{\sum_{i=1}^{n} h_i}{n} = \frac{0.101+0.105+0.099+0.103+0.102}{5} = \frac{0.510}{5} = 0.102 \text{ мм}$

2. Оценим полную погрешность, которая складывается из инструментальной и случайной погрешностей. Инструментальная погрешность микрометра равна половине цены деления:

$\Delta h_{инстр} = \frac{ЦД_м}{2} = \frac{0.01 \text{ мм}}{2} = 0.005 \text{ мм}$

3. Рассчитаем случайную погрешность как среднее арифметическое модулей отклонений каждого измерения от среднего значения:

$|\Delta h_1| = |0.102 - 0.101| = 0.001$ мм
$|\Delta h_2| = |0.102 - 0.105| = 0.003$ мм
$|\Delta h_3| = |0.102 - 0.099| = 0.003$ мм
$|\Delta h_4| = |0.102 - 0.103| = 0.001$ мм
$|\Delta h_5| = |0.102 - 0.102| = 0.000$ мм

$\Delta h_{случ} = \frac{\sum |\Delta h_i|}{n} = \frac{0.001+0.003+0.003+0.001+0.000}{5} = \frac{0.008}{5} = 0.0016 \text{ мм}$

4. Полная абсолютная погрешность равна сумме инструментальной и случайной погрешностей:

$\Delta h = \Delta h_{инстр} + \Delta h_{случ} = 0.005 \text{ мм} + 0.0016 \text{ мм} = 0.0066 \text{ мм}$

5. Округлим погрешность до одной значащей цифры (в большую сторону), а среднее значение — до того же десятичного разряда:

$\Delta h \approx 0.007 \text{ мм}$
$h_{ср} = 0.102 \text{ мм}$

Запишем окончательный результат:

$h = (0.102 \pm 0.007) \text{ мм}$

Ответ: Толщина одного листа, измеренная прямым методом, составляет $h = (0.102 \pm 0.007) \text{ мм}$.

Выводы

В ходе работы были получены следующие результаты:

• Косвенный метод (линейка): $h = (0.102 \pm 0.001) \text{ мм}$. Относительная погрешность $\epsilon = \frac{0.001}{0.102} \cdot 100\% \approx 1\%$.
• Прямой метод (микрометр): $h = (0.102 \pm 0.007) \text{ мм}$. Относительная погрешность $\epsilon = \frac{0.007}{0.102} \cdot 100\% \approx 6.9\%$.

Средние значения толщины, полученные обоими методами, совпали, что подтверждает корректность измерений. Однако, итоговая погрешность при использовании косвенного метода (метода рядов) оказалась существенно ниже, чем при прямом измерении микрометром. Это объясняется тем, что при делении погрешности измерения всей стопки на большое число листов ($N=500$), погрешность, приходящаяся на один лист, значительно уменьшается. Прямое же измерение, несмотря на использование более точного прибора, имеет большую погрешность из-за неоднородности самой бумаги (случайная погрешность) и большей инструментальной погрешности по сравнению с $\Delta h$ в первом методе.

Таким образом, для повышения точности измерения малых величин целесообразно использовать метод рядов.

Ответ: Толщину одного листа бумаги можно найти косвенным методом (измерив стопку листов линейкой и разделив на их количество) или прямым методом (измерив один лист микрометром). Для корректной оценки погрешности необходимо учитывать как инструментальную погрешность прибора, так и случайные погрешности, связанные с неоднородностью материала. В данном эксперименте косвенный метод измерения с помощью линейки позволил получить результат с меньшей итоговой погрешностью.