Поучительная история, страница 42, часть 1 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Физика и мир, в котором мы живём. Параграф 10. Лабораторные и исследовательские работы. Практические работы-исследование - страница 42.

Условие.

ПОУЧИТЕЛЬНАЯ ИСТОРИЯ ИЗ ПРАКТИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Ученики 7 класса Петя и Саша учатся в школе с углублённым изучением физики. Поскольку они хорошо освоили методы работы с точными измерительными инструментами, учитель поручил им измерить микрометром диаметр тонкой проволоки длиной около метра. Результат нужно было записать с соответствующей погрешностью.

НАУЧНАЯ СПРАВКА.

В промышленных масштабах проволока изготавливается методом волочения, т. е. путём протаскивания через ряд отверстий с постепенно уменьшающимся диаметром. Такая технология изготовления, очевидно, не гарантирует, что сечение проволоки по всей длине будет иметь форму круга. Поэтому при проведении серии измерений различия в значениях диаметра $\text{d}$ проволоки могут превышать инструментальную погрешность.

Этапы выполнения задания

1) Школьники проделали 6 измерений диаметра проволоки и результаты записали в таблицу.

2) Поскольку полученные значения несколько отличались друг от друга, то Петя и Саша решили, что наиболее точным значением диаметра проволоки будет среднее значение величин: $d_{cp} = \frac{d_1 + d_2 + ... + d_n}{n}$, где $n = 6$ — количество измерений.

Согласно результатам измерений $d_{cp} = 0,53$ мм.

3) Вопрос, как оценивать погрешность измерения диаметра, оказался самым трудным для школьников. Петя предложил сначала вычислить погрешности отдельных измерений по формуле $\Delta d_i = d_i - d_{cp}$ и результаты занести в таблицу:

№ измерения	1	2	3	4	5	6
$d_i$, мм	0,54	0,52	0,55	0,52	0,52	0,53
$\Delta d_i$, мм	0,01	-0,01	0,02	-0,01	-0,01	0

4) Саша продолжил рассуждения и высказал предположение, что наиболее правдоподобной оценкой погрешности измерения диаметра также будет среднее значение погрешностей отдельных измерений: $\Delta d_{cp} = \frac{\Delta d_1 + \Delta d_2 + ... + \Delta d_n}{n}$, где $n = 6$.

5) Выполните дальнейшие вычисления.

6) Обсудите полученный результат.

7) Предложите свой вариант оценки погрешности измерения диаметра.

Решение.

Дано:

Результаты 6 измерений диаметра проволоки $d_i$, мм: 0,54; 0,52; 0,55; 0,52; 0,52; 0,53.
Количество измерений $n = 6$.
Среднее значение диаметра $d_{ср} = 0,53 \text{ мм}$.
Отклонения отдельных измерений от среднего значения $\Delta d_i$, мм: 0,01; -0,01; 0,02; -0,01; -0,01; 0.

Перевод в систему СИ:
$d_1 = 0,54 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_2 = 0,52 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_3 = 0,55 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_4 = 0,52 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_5 = 0,52 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_6 = 0,53 \times 10^{-3} \text{ м}$
$d_{ср} = 0,53 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_1 = 0,01 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_2 = -0,01 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_3 = 0,02 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_4 = -0,01 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_5 = -0,01 \times 10^{-3} \text{ м}$
$\Delta d_6 = 0 \text{ м}$

Найти:

5) Выполнить вычисление средней погрешности $\Delta d_{ср}$ по предложению Саши.

6) Обсудить и проанализировать полученный результат.

7) Предложить свой вариант оценки погрешности и рассчитать его значение.

Решение:

5) Выполните дальнейшие вычисления.

Саша предложил рассчитать среднее значение погрешностей отдельных измерений по формуле:

$\Delta d_{ср} = \frac{\Delta d_1 + \Delta d_2 + \dots + \Delta d_n}{n}$

Подставим значения отклонений $\Delta d_i$ из таблицы в эту формулу для $n=6$:

$\Delta d_{ср} = \frac{0,01 + (-0,01) + 0,02 + (-0,01) + (-0,01) + 0}{6} = \frac{0}{6} = 0 \text{ мм}$

Ответ: Среднее значение погрешностей, вычисленное по предложению Саши, равно 0 мм.

6) Обсудите полученный результат.

Полученный результат $\Delta d_{ср} = 0 \text{ мм}$ не может являться адекватной оценкой погрешности измерений. Погрешность физического измерения не может быть равной нулю, так как отдельные измерения ($d_1, d_2, \ldots, d_6$) имеют разброс и отличаются друг от друга. Нулевой результат в данном случае является следствием математического свойства среднего арифметического: сумма отклонений отдельных значений от их среднего арифметического всегда равна нулю. То есть $\sum_{i=1}^{n} (d_i - d_{ср}) = 0$. Положительные и отрицательные отклонения взаимно уничтожают друг друга при суммировании. Следовательно, предложенный Сашей способ не позволяет оценить реальный разброс данных и не подходит для нахождения величины случайной погрешности.

Ответ: Метод, предложенный Сашей, некорректен для оценки погрешности. Он всегда даёт результат, равный нулю, что не отражает реального разброса результатов измерений и физически бессмысленно.

7) Предложите свой вариант оценки погрешности измерения диаметра.

Для правильной оценки случайной погрешности необходимо учитывать величину каждого отклонения, независимо от его знака. Для этого следует усреднять не сами отклонения, а их абсолютные значения (модули). Этот метод позволяет найти среднюю абсолютную погрешность, которая характеризует средний разброс результатов измерений относительно среднего значения.

Формула для расчёта средней абсолютной погрешности $\Delta d_{абс}$:

$\Delta d_{абс} = \frac{|\Delta d_1| + |\Delta d_2| + \dots + |\Delta d_n|}{n}$

Рассчитаем модули отклонений для данных измерений:

$|\Delta d_1| = |0,01| = 0,01 \text{ мм}$

$|\Delta d_2| = |-0,01| = 0,01 \text{ мм}$

$|\Delta d_3| = |0,02| = 0,02 \text{ мм}$

$|\Delta d_4| = |-0,01| = 0,01 \text{ мм}$

$|\Delta d_5| = |-0,01| = 0,01 \text{ мм}$

$|\Delta d_6| = |0| = 0 \text{ мм}$

Теперь найдём их сумму и среднее значение:

$\sum_{i=1}^{6} |\Delta d_i| = 0,01 + 0,01 + 0,02 + 0,01 + 0,01 + 0 = 0,06 \text{ мм}$

$\Delta d_{абс} = \frac{0,06 \text{ мм}}{6} = 0,01 \text{ мм}$

Таким образом, более корректная оценка случайной погрешности составляет 0,01 мм. Итоговый результат измерения диаметра проволоки следует записать в интервальной форме $d = d_{ср} \pm \Delta d_{абс}$.

$d = (0,53 \pm 0,01) \text{ мм}$

Ответ: В качестве оценки погрешности следует использовать среднюю абсолютную погрешность. Её значение равно 0,01 мм. Окончательный результат измерения: $d = (0,53 \pm 0,01) \text{ мм}$.