Номер 2, страница 129, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 2. Глава 9. Простые механизмы. «золотое правило» механики. Параграф 79. Центр тяжести и равновесие тел - номер 2, страница 129.

Условие.

2. Как найти центр тяжести плоской фигуры?

Решение.

Центр тяжести плоской однородной фигуры — это геометрическая точка, называемая также центроидом или центром масс, которая характеризует среднее положение всех точек фигуры. Если представить фигуру как тонкую однородную пластину, то центр тяжести будет точкой, в которой её можно было бы сбалансировать. Существует несколько методов для нахождения центра тяжести, выбор которых зависит от формы фигуры.

1. Метод симметрии

Этот метод является самым простым и применяется для фигур, обладающих симметрией.

- Если фигура имеет ось симметрии, то её центр тяжести лежит на этой оси.
- Если фигура имеет две или более осей симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения.
- Если фигура имеет центр симметрии (например, круг, прямоугольник, эллипс), то её центр тяжести совпадает с этим центром.

Примеры: центр тяжести круга — его геометрический центр; центр тяжести прямоугольника — точка пересечения его диагоналей.

Ответ: Для симметричных фигур центр тяжести находится на оси или в центре симметрии.

2. Метод разбиения для составных фигур

Если фигура имеет сложную форму, её можно мысленно разбить на несколько простых фигур (прямоугольников, треугольников, кругов и т.д.), для каждой из которых положение центра тяжести известно. Затем координаты центра тяжести ($x_c, y_c$) всей фигуры вычисляются по формулам:

$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i A_i}{\sum_{i=1}^{n} A_i} = \frac{x_1 A_1 + x_2 A_2 + ... + x_n A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

$y_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i A_i}{\sum_{i=1}^{n} A_i} = \frac{y_1 A_1 + y_2 A_2 + ... + y_n A_n}{A_1 + A_2 + ... + A_n}$

где: $A_i$ — площадь i-ой простой фигуры; $x_i, y_i$ — координаты центра тяжести i-ой простой фигуры в выбранной системе координат; $\text{n}$ — количество простых фигур.

Если в фигуре есть вырез (отверстие), его можно рассматривать как фигуру с "отрицательной" площадью. Тогда в приведенных выше формулах площадь выреза и соответствующее слагаемое в числителе берутся со знаком минус.

Ответ: Для составной фигуры её нужно разбить на простые части, найти центр тяжести и площадь каждой части, а затем использовать формулы средневзвешенного для нахождения координат общего центра тяжести.

3. Экспериментальный метод (метод подвешивания)

Этот практический метод подходит для нахождения центра тяжести физической модели плоской фигуры.

1. Вырежьте точную копию фигуры из однородного плотного материала (например, картона или фанеры).
2. Проделайте в фигуре небольшое отверстие у края и подвесьте её на гвоздь или иглу так, чтобы она могла свободно вращаться.
3. Когда фигура придет в состояние равновесия, подвесьте к той же точке отвес (нитка с грузом) и отметьте на фигуре линию вдоль нити.
4. Повторите процедуру, подвесив фигуру за другую точку, расположенную подальше от первой.
5. Точка пересечения двух проведенных линий и будет являться искомым центром тяжести.

Ответ: Центр тяжести физической плоской фигуры можно найти как точку пересечения линий, проведенных от разных точек подвеса вдоль направления силы тяжести (по отвесу).

4. Интегральный метод

Для фигур, ограниченных кривыми, которые заданы математическими функциями, координаты центра тяжести можно найти с помощью определенного интеграла. Для фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (при условии $f(x) \ge g(x)$) на отрезке $[a, b]$, координаты центра тяжести ($x_c, y_c$) вычисляются по формулам:

$x_c = \frac{1}{A} \int_a^b x[f(x) - g(x)]dx$

$y_c = \frac{1}{A} \int_a^b \frac{1}{2}[f(x)^2 - g(x)^2]dx$

где $\text{A}$ — площадь фигуры, которая также находится через интеграл:

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$

Этот метод является наиболее общим и точным для фигур сложной криволинейной формы.

Ответ: Для фигур, заданных аналитически, координаты центра тяжести находятся путем вычисления определенных интегралов от функций, описывающих границы фигуры.