Номер 6, страница 13, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 17. Давление жидкостей и газов. Закон Паскаля - номер 6, страница 13.

Условие.

6. Человек массой 60 кг, став на поршень в узком сосуде гидравлического пресса, поднимает с его помощью груз массой 1,5 т. Во сколько раз диаметр широкого сосуда пресса больше, чем диаметр узкого?

Решение.

Дано:

$m_1 = 60$ кг

$m_2 = 1.5$ т

Система СИ:

$m_2 = 1.5 \cdot 1000 = 1500$ кг

Найти:

$\frac{d_2}{d_1}$ - ?

Решение:

Работа гидравлического пресса основана на законе Паскаля, который гласит, что давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Следовательно, давление под малым поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$).

$p_1 = p_2$

Давление ($\text{p}$) определяется как отношение силы ($\text{F}$) к площади поверхности ($\text{S}$), на которую эта сила действует: $p = \frac{F}{S}$.

Таким образом, условие равновесия для гидравлического пресса можно записать в виде:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Здесь $F_1$ – сила, действующая на малый (узкий) поршень, а $F_2$ – сила, действующая на большой (широкий) поршень. $S_1$ и $S_2$ – их площади соответственно.

Сила, с которой человек действует на малый поршень, равна его весу: $F_1 = m_1 g$.

Сила, действующая на большой поршень, равна весу поднимаемого груза: $F_2 = m_2 g$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Площади поршней, имеющих форму круга, вычисляются через их диаметры ($d_1$ и $d_2$) по формуле: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Подставим выражения для сил и площадей в основное уравнение:

$\frac{m_1 g}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{m_2 g}{\frac{\pi d_2^2}{4}}$

Можно сократить общие множители $\text{g}$, $\pi$ и $\text{4}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{m_1}{d_1^2} = \frac{m_2}{d_2^2}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение диаметров $\frac{d_2}{d_1}$:

$\frac{d_2^2}{d_1^2} = \frac{m_2}{m_1}$

$(\frac{d_2}{d_1})^2 = \frac{m_2}{m_1}$

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{\frac{1500 \text{ кг}}{60 \text{ кг}}} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: Диаметр широкого сосуда пресса больше диаметра узкого в 5 раз.