Номер 4, страница 12, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 17. Давление жидкостей и газов. Закон Паскаля - номер 4, страница 12.

Условие.

4. На рисунке 17.6 изображены два заполненных жидкостью прочных цилиндрических сосуда, которые соединены труб-кой. Диаметр широкого сосуда намного больше, чем диаметр узкого. Оба сосуда закрыты поршнями, которые могут двигаться практически без трения. Площади поршней рав-ны $S_1$ и $S_2$. Здесь и далее мы будем считать, что массой жидкости и весом поршней можно пренебречь.

а) Равны ли давления в обоих сосудах? Обоснуйте свой ответ.

б) Чему будет равно давление жидкости в узком сосуде, если давить на поршень в нём силой $\vec{F}_1$?

в) Чему равна сила $\vec{F}_2$, с которой жидкость давит снизу вверх на поршень в широком сосуде?

Рис. 17.6

г) Докажите, что модуль силы $F_2$ во столько же раз боль-ше модуля силы $F_1$, во сколько раз площадь поршня в широком сосуде больше площади поршня в узком сосуде:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Решение.

а) Да, давления в обоих сосудах равны. Система представляет собой сообщающиеся сосуды, заполненные однородной жидкостью. Согласно закону Паскаля, давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку без изменений во всех направлениях. Поскольку в условии задачи указано, что массой жидкости можно пренебречь, мы не учитываем гидростатическое давление, которое бы создавало разницу давлений на разной высоте. Таким образом, давление под поршнем в узком сосуде ($p_1$) равно давлению под поршнем в широком сосуде ($p_2$).

Ответ: Да, давления в обоих сосудах равны. Это следует из закона Паскаля для сообщающихся сосудов при пренебрежении весом жидкости.

б) Давление определяется как отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности. Если на поршень в узком сосуде, имеющий площадь $S_1$, действует сила $F_1$, то создаваемое ею давление $p_1$ вычисляется по формуле:

$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$

Ответ: Давление жидкости в узком сосуде будет равно $p_1 = \frac{F_1}{S_1}$.

в) Сила, с которой жидкость давит на поршень, равна произведению давления жидкости на площадь поршня. В широком сосуде площадь поршня равна $S_2$. Давление $p_2$ под этим поршнем, как установлено в пункте (а), равно давлению $p_1$ в узком сосуде. Используя результат из пункта (б), получаем:

$p_2 = p_1 = \frac{F_1}{S_1}$

Тогда модуль силы $F_2$, с которой жидкость давит на большой поршень, равен:

$F_2 = p_2 \cdot S_2 = \frac{F_1}{S_1} \cdot S_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1}$

Эта сила, по третьему закону Ньютона, является силой реакции на давление поршня на жидкость и направлена снизу вверх.

Ответ: Сила, с которой жидкость давит на поршень в широком сосуде, по модулю равна $F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1}$ и направлена вверх.

г)

Дано:

Сообщающиеся сосуды с поршнями.
Площадь малого поршня: $S_1$
Площадь большого поршня: $S_2$
Сила, приложенная к малому поршню: $F_1$
Сила, действующая со стороны жидкости на большой поршень: $F_2$

Найти:

Доказать, что $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Решение:

1. Давление $p_1$, которое создает сила $F_1$ на жидкость через поршень площадью $S_1$, определяется как:
$p_1 = \frac{F_1}{S_1}$

2. Сила $F_2$ действует на поршень площадью $S_2$ со стороны жидкости, создавая давление $p_2$ на поршень. Это давление равно:
$p_2 = \frac{F_2}{S_2}$

3. В соответствии с законом Паскаля, давление в любой точке покоящейся жидкости, находящейся в сообщающихся сосудах, одинаково на одном и том же горизонтальном уровне. Так как мы пренебрегаем весом жидкости, давление под обоими поршнями одинаково:
$p_1 = p_2$

4. Приравняем выражения для давлений, полученные в пунктах 1 и 2:
$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

5. Преобразуем полученное равенство, чтобы выразить отношение $\frac{F_2}{F_1}$. Для этого умножим обе части уравнения на $S_2$ и разделим на $F_1$:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Данное соотношение показывает, что модуль силы $F_2$ во столько же раз больше модуля силы $F_1$, во сколько раз площадь $S_2$ больше площади $S_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на равенстве давлений ($p_1 = p_2$) в сообщающихся сосудах (закон Паскаля) и определении давления ($p=F/S$). Из равенства $\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$ непосредственно следует искомое соотношение $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$.