Номер 9, страница 51 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Давление твёрдых тел. Вариант 1 - номер 9, страница 51.

Условие.

9. Цилиндр, изготовленный из алюминия, имеет высоту 8,9 см. Какую высоту должен иметь медный цилиндр такого же диаметра, чтобы он оказывал на стол такое же давление?

А. 27 см.

Б. 50 см.

В. 2,7 см.

Решение.

Дано:

Материал первого цилиндра - алюминий
Материал второго цилиндра - медь
Высота алюминиевого цилиндра $h_{а} = 8,9 \text{ см}$
Плотность алюминия $\rho_{а} = 2700 \text{ кг/м³}$
Плотность меди $\rho_{м} = 8900 \text{ кг/м³}$
Диаметры цилиндров одинаковы $d_{а} = d_{м}$
Давление, оказываемое цилиндрами на стол, одинаково $P_{а} = P_{м}$

$h_{а} = 8,9 \text{ см} = 0,089 \text{ м}$

Найти:

Высоту медного цилиндра $h_{м}$.

Решение:

Давление, которое твердое тело оказывает на опору, вычисляется по формуле:

$P = \frac{F}{S}$

где $\text{F}$ – сила, с которой тело действует на опору, а $\text{S}$ – площадь опоры.

В данном случае сила давления $\text{F}$ равна силе тяжести (весу) цилиндра:

$F = W = mg$

где $\text{m}$ – масса цилиндра, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Массу цилиндра можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho V$

Объем цилиндра равен произведению площади его основания $\text{S}$ на высоту $\text{h}$:

$V = S h$

Теперь подставим все выражения в формулу для давления:

$P = \frac{mg}{S} = \frac{\rho V g}{S} = \frac{\rho S h g}{S}$

Площадь основания $\text{S}$ сокращается, и формула для давления цилиндра на опору принимает вид:

$P = \rho g h$

Из этой формулы видно, что давление, создаваемое цилиндром, не зависит от его диаметра (или площади основания), а зависит только от материала (плотности) и высоты.

По условию задачи, давления, создаваемые алюминиевым и медным цилиндрами, равны:

$P_{а} = P_{м}$

Запишем это равенство, используя выведенную формулу:

$\rho_{а} g h_{а} = \rho_{м} g h_{м}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ можно сократить:

$\rho_{а} h_{а} = \rho_{м} h_{м}$

Выразим из этого уравнения искомую высоту медного цилиндра $h_{м}$:

$h_{м} = \frac{\rho_{а}}{\rho_{м}} \cdot h_{а}$

Подставим числовые значения. Можно использовать значения плотности как в СИ (кг/м³), так и в г/см³, так как их отношение будет безразмерной величиной. Для удобства вычислений воспользуемся плотностями, выраженными в г/см³ ($\rho_{а} = 2,7$ г/см³, $\rho_{м} = 8,9$ г/см³) и высотой в сантиметрах:

$h_{м} = \frac{2,7 \text{ г/см³}}{8,9 \text{ г/см³}} \cdot 8,9 \text{ см} = 2,7 \text{ см}$

Таким образом, высота медного цилиндра должна быть 2,7 см.

Ответ: 2,7 см.