Номер 6, страница 136 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

Упражнение 23. Параграф 40. Сообщающиеся сосуды. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 6, страница 136.

Условие.

6*. В два сосуда налито разное количество воды (рис. 126). В каком сосуде давление воды на дно больше и на сколько, если h₁ = 48 см, а h₂ = 14 см? Какой уровень воды установится в сосудах после того, как кран откроют, если диаметры сосудов различаются в 4 раза?

Решение.

Решение 2.

В каком сосуде давление воды на дно больше и на сколько?

Дано:

$h_1 = 48 \text{ см}$
$h_2 = 14 \text{ см}$
Плотность воды $\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ Н/кг}$

$h_1 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$
$h_2 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

Найти:

В каком сосуде давление больше и разницу давлений $\Delta p$.

Решение:

Давление столба жидкости на дно сосуда (гидростатическое давление) вычисляется по формуле:

$p = \rho g h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

Давление в первом (узком) сосуде:

$p_1 = \rho g h_1$

Давление во втором (широком) сосуде:

$p_2 = \rho g h_2$

Поскольку высота столба воды в первом сосуде больше, чем во втором ($h_1 > h_2$), то и давление на дно в первом сосуде будет больше.

Найдем разницу давлений:

$\Delta p = p_1 - p_2 = \rho g h_1 - \rho g h_2 = \rho g (h_1 - h_2)$

Подставим значения в систему СИ:

$\Delta p = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (0.48 \text{ м} - 0.14 \text{ м}) = 9800 \frac{\text{Н}}{\text{м}^3} \cdot 0.34 \text{ м} = 3332 \text{ Па}$

Ответ: Давление больше в первом (узком) сосуде на $3332 \text{ Па}$.

Какой уровень воды установится в сосудах после того, как кран откроют, если диаметры сосудов различаются в 4 раза?

Дано:

$h_1 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$
$h_2 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
Соотношение диаметров $d_2 = 4d_1$ (из рисунка видно, что второй сосуд шире первого).

Найти:

Установившийся уровень воды $h$.

Решение:

После открытия крана сосуды станут сообщающимися, и вода в них установится на одном уровне $h$. По закону сохранения вещества, общий объем воды в системе не изменится.

Общий объем воды до открытия крана равен сумме объемов в двух сосудах:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = S_1 h_1 + S_2 h_2$

Общий объем воды после установления равновесия:

$V_{кон} = S_1 h + S_2 h = (S_1 + S_2) h$

Здесь $S_1$ и $S_2$ — площади оснований узкого и широкого сосудов. Площадь круга связана с диаметром формулой $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Найдем соотношение площадей оснований:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = (\frac{d_2}{d_1})^2$

Так как $d_2 = 4d_1$, то $\frac{S_2}{S_1} = 4^2 = 16$. Отсюда $S_2 = 16S_1$.

Приравняем объемы до и после: $V_{общ} = V_{кон}$.

$S_1 h_1 + S_2 h_2 = (S_1 + S_2) h$

Подставим выражение для $S_2$:

$S_1 h_1 + 16S_1 h_2 = (S_1 + 16S_1) h$

Вынесем $S_1$ за скобки в обеих частях уравнения:

$S_1(h_1 + 16h_2) = 17S_1 h$

Сократим на $S_1$ (площадь не равна нулю):

$h_1 + 16h_2 = 17h$

Выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{h_1 + 16h_2}{17}$

Подставим числовые значения (можно использовать сантиметры, так как единицы измерения высоты в числителе и знаменателе сократятся):

$h = \frac{48 \text{ см} + 16 \cdot 14 \text{ см}}{17} = \frac{48 \text{ см} + 224 \text{ см}}{17} = \frac{272 \text{ см}}{17} = 16 \text{ см}$

Ответ: В сосудах установится уровень воды, равный $16 \text{ см}$ (или $0.16 \text{ м}$).