Номер 2, страница 54 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

2. Как изменятся скорости взаимодействующих тел, если их массы различны?

Решение

Рассмотрим взаимодействие двух тел в замкнутой системе, то есть в системе, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано. Для такой системы выполняется закон сохранения импульса, который гласит, что векторная сумма импульсов всех тел системы остается постоянной.

Пусть до взаимодействия тела имели массы $m_1$ и $m_2$ и скорости $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ соответственно. После взаимодействия их скорости стали $\vec{v'_1}$ и $\vec{v'_2}$. Закон сохранения импульса для этой системы записывается в виде:

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить изменение импульса каждого тела:

$m_1\vec{v'_1} - m_1\vec{v_1} = -(m_2\vec{v'_2} - m_2\vec{v_2})$

Выражение в левой части — это изменение импульса первого тела $\Delta \vec{p_1} = m_1(\vec{v'_1} - \vec{v_1}) = m_1\Delta \vec{v_1}$, а в правой (со знаком минус) — изменение импульса второго тела $\Delta \vec{p_2} = m_2(\vec{v'_2} - \vec{v_2}) = m_2\Delta \vec{v_2}$. Таким образом, мы получаем, что изменения импульсов тел равны по модулю и противоположны по направлению:

$\Delta \vec{p_1} = -\Delta \vec{p_2}$

Подставим в это равенство выражения через массы и изменения скоростей $\Delta \vec{v}$:

$m_1\Delta \vec{v_1} = -m_2\Delta \vec{v_2}$

Это векторное равенство показывает, что векторы изменений скоростей $\Delta \vec{v_1}$ и $\Delta \vec{v_2}$ направлены в противоположные стороны. Чтобы сравнить величины (модули) изменений скоростей, перейдем к их модулям:

$m_1|\Delta \vec{v_1}| = m_2|\Delta \vec{v_2}|$

Обозначив модули изменений скоростей как $\Delta v_1 = |\Delta \vec{v_1}|$ и $\Delta v_2 = |\Delta \vec{v_2}|$, получим:

$m_1 \Delta v_1 = m_2 \Delta v_2$

Отсюда можно найти отношение модулей изменений скоростей:

$\frac{\Delta v_1}{\Delta v_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Это соотношение показывает, что модули изменений скоростей взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам. Следовательно, если массы тел различны ($m_1 \neq m_2$), то и изменения их скоростей будут различны ($\Delta v_1 \neq \Delta v_2$). Тело с большей массой получит меньшее изменение скорости, а тело с меньшей массой — большее. Например, если $m_1 > m_2$, то из формулы следует, что $\Delta v_1 < \Delta v_2$.

Ответ: При взаимодействии двух тел с различными массами изменения их скоростей обратно пропорциональны их массам. Тело с меньшей массой получает большее по модулю изменение скорости, а тело с большей массой — меньшее.