Номер 1, страница 54 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

1. Что можно сказать о скоростях тележек одинаковой массы, которые они приобретут после столкновения?

1. Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два основных типа столкновений: упругое и неупругое, так как результат будет зависеть от характера взаимодействия тележек. В обоих случаях мы будем использовать закон сохранения импульса. Пусть массы тележек равны $m_1 = m_2 = m$, их скорости до столкновения — $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$, а после столкновения — $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$.

Решение

Запишем закон сохранения импульса для системы из двух тележек. Так как система замкнута (внешними силами, такими как трение, пренебрегаем), суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения:

$m\vec{v_1} + m\vec{v_2} = m\vec{u_1} + m\vec{u_2}$

Так как массы одинаковы, их можно сократить:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{u_1} + \vec{u_2}$

Это векторное равенство является общим для любого типа столкновения. Оно означает, что сумма векторов скоростей до взаимодействия равна сумме векторов скоростей после взаимодействия. Дальнейший анализ требует уточнения типа столкновения.

1. Упругое столкновение

При абсолютно упругом столкновении сохраняется не только импульс, но и полная кинетическая энергия системы. Закон сохранения энергии для тележек равной массы:

$\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{mu_1^2}{2} + \frac{mu_2^2}{2}$

Сократив массу и множитель $\frac{1}{2}$, получим:

$v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2$

Решая систему уравнений закона сохранения импульса и энергии для одномерного случая (когда тележки движутся вдоль одной прямой), можно получить уникальный результат: тележки обмениваются скоростями.

$u_1 = v_2$

$u_2 = v_1$

Частный случай: если одна из тележек (например, вторая) до столкновения покоилась ($v_2 = 0$), то после столкновения первая тележка остановится ($u_1 = 0$), а вторая начнет двигаться со скоростью первой ($u_2 = v_1$).

2. Неупругое столкновение

При неупругом столкновении часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию (нагрев тел), поэтому закон сохранения энергии в механической форме не выполняется. Сохраняется только импульс.

Наиболее простой случай — совершенно неупругое столкновение, при котором тележки после удара движутся вместе как единое целое. Это означает, что их скорости после столкновения одинаковы: $\vec{u_1} = \vec{u_2} = \vec{u}_{общ}$.

Подставим это в закон сохранения импульса:

$m\vec{v_1} + m\vec{v_2} = (m + m)\vec{u}_{общ}$

$m(\vec{v_1} + \vec{v_2}) = 2m\vec{u}_{общ}$

Отсюда находим общую скорость после столкновения:

$\vec{u}_{общ} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

То есть, при совершенно неупругом столкновении тележки одинаковой массы после удара будут двигаться вместе со скоростью, равной среднему арифметическому их начальных скоростей.

Частный случай: если одна из тележек покоилась ($v_2 = 0$), то после столкновения обе тележки будут двигаться вместе со скоростью, равной половине начальной скорости первой тележки: $u_{общ} = \frac{v_1}{2}$.

Ответ: Однозначно определить скорости тележек после столкновения, зная только их равные массы, невозможно. Результат зависит от типа столкновения:

1. При абсолютно упругом столкновении тележки обмениваются скоростями.

2. При совершенно неупругом столкновении (когда они слипаются) они движутся вместе со скоростью, равной векторному среднему арифметическому их начальных скоростей.

В общем случае неупругого столкновения результат будет промежуточным между этими двумя крайними случаями, и для его определения потребуется дополнительная информация (например, коэффициент восстановления скорости). Во всех случаях выполняется закон сохранения импульса, согласно которому сумма скоростей до столкновения равна сумме скоростей после столкновения ($\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{u_1} + \vec{u_2}$).