Номер 5, страница 122 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

5*. Из шахты глубиной 150 м поднимают на канате груз массой 500 кг. Масса каждого метра каната 1 кг. Определите КПД установки.

Указание. Поскольку по мере подъёма груза длина каната изменяется от 150 м до 0 и соответственно, его масса меняется от 150 кг до 0, то можно считать массу каната, поднимаемого из шахты глубиной 150 м, равной 75 кг.

Дано:

Глубина шахты, $h = 150$ м

Масса груза, $m_г = 500$ кг

Масса одного метра каната (линейная плотность), $μ = 1$ кг/м

Согласно указанию, эффективная масса поднимаемого каната, $m_{к\_эфф} = 75$ кг

Ускорение свободного падения, $g$

Все данные, необходимые для расчета (массы и длина), представлены в системе СИ.

Найти:

КПД установки, $η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) $η$ по определению равен отношению полезной работы $A_п$ к полной (затраченной) работе $A_з$, выраженному в процентах.

$η = \frac{A_п}{A_з} \cdot 100\%$

Полезной работой в данном случае является работа по подъёму груза на высоту $h$.

$A_п = m_г \cdot g \cdot h$

Полная (затраченная) работа складывается из полезной работы по подъёму груза и работы по подъёму каната $A_к$.

$A_з = A_п + A_к$

Работа по подъёму каната $A_к$ совершается для преодоления силы тяжести самого каната. Поскольку по мере подъёма длина, а следовательно, и масса каната, свисающего в шахту, уменьшается (от $μ \cdot h = 1 \text{ кг/м} \cdot 150 \text{ м} = 150$ кг до 0), для расчета работы используется среднее значение. В указании к задаче дано, что можно считать массу поднимаемого каната равной 75 кг. Это значение соответствует средней массе $(150 \text{ кг} + 0 \text{ кг}) / 2 = 75$ кг. Работу по подъёму каната можно рассчитать как работу по подъёму тела с этой эффективной массой $m_{к\_эфф}$ на всю высоту $h$.

$A_к = m_{к\_эфф} \cdot g \cdot h$

Теперь подставим выражения для работ в формулу для КПД:

$η = \frac{A_п}{A_п + A_к} = \frac{m_г \cdot g \cdot h}{m_г \cdot g \cdot h + m_{к\_эфф} \cdot g \cdot h}$

Сократим общий множитель $g \cdot h$ в числителе и знаменателе:

$η = \frac{m_г}{m_г + m_{к\_эфф}}$

Подставим числовые значения масс:

$η = \frac{500}{500 + 75} = \frac{500}{575}$

Сократим дробь на 25:

$η = \frac{20}{23}$

Теперь вычислим значение и выразим его в процентах:

$η = \frac{20}{23} \approx 0.8695$

$η \approx 0.8695 \cdot 100\% \approx 87\%$

Ответ: КПД установки составляет примерно 87%.