Номер 1, страница 175 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

1. Используя геометрические построения, докажите, что в плоском зеркале:

— размеры изображения равны размерам предмета;

— расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения.

расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения.

Дано: Плоское зеркало, представленное прямой $m$; точечный предмет (источник света) $S$.

Найти: Доказать, что расстояние от предмета до зеркала ($d$) равно расстоянию от зеркала до изображения ($f$), то есть $d=f$.

Решение:

Для построения изображения точки $S$ в плоском зеркале и доказательства соответствующего свойства используем геометрический метод, основанный на законе отражения света.

1. Построим изображение точки $S$. Для этого используем два луча, исходящих из этой точки. Первый луч, $SO$, направим перпендикулярно плоскости зеркала $m$. Точка $O$ - точка падения луча. Согласно закону отражения света, этот луч отразится от зеркала и пойдет обратно по тому же пути, то есть по прямой $OS$. Для наблюдателя будет казаться, что отраженный луч исходит из точки, лежащей на продолжении прямой $SO$ за зеркалом.

2. Второй луч, $SP$, направим на произвольную точку $P$ на зеркале. Луч $SP$ является падающим. Пусть $PR$ - отраженный луч.

3. Мнимое изображение $S'$ точки $S$ находится на пересечении продолжений отраженных лучей. Таким образом, точка $S'$ лежит на пересечении прямой $SO$ (продолженной за зеркало) и прямой $PR$ (также продолженной за зеркало).

4. Для доказательства воспользуемся углами, которые лучи образуют с поверхностью зеркала (углами скольжения). Пусть падающий луч $SP$ образует с зеркалом угол $\alpha$ ($ \angle SPO = \alpha $). Отраженный луч $PR$ образует с зеркалом угол $\beta$ ($ \angle RPO' $, где $O'$ - точка на зеркале на одной прямой с $O$ и $P$). Из закона отражения (равенство углов падения и отражения относительно нормали) следует, что углы скольжения также равны: $\alpha = \beta$.

5. Изображение $S'$ лежит на продолжении отраженного луча $PR$. Это означает, что точки $S'$, $P$ и $R$ лежат на одной прямой. Углы $\angle RPO'$ и $\angle S'PO$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle S'PO = \angle RPO' = \beta$.

6. Из шагов 4 и 5 следует, что $\angle SPO = \alpha = \beta = \angle S'PO$.

7. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S'OP$.

- Сторона $OP$ у них общая.

- Углы $\angle SOP$ и $\angle S'OP$ прямые ($90^\circ$) по построению луча $SO$.

- Мы доказали, что прилежащие к катету $OP$ острые углы равны: $\angle SPO = \angle S'PO$.

8. Следовательно, треугольники $\triangle SOP$ и $\triangle S'OP$ равны по катету и прилежащему острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).

9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, катеты $SO$ и $S'O$ равны: $SO = S'O$.

10. Расстояние от предмета до зеркала $d = SO$, а расстояние от изображения до зеркала $f = S'O$. Таким образом, мы доказали, что $d=f$.

Ответ: Мы доказали, что расстояние от предмета до плоского зеркала равно расстоянию от его мнимого изображения до зеркала, основываясь на законе отражения света и геометрических построениях равенства треугольников.

размеры изображения равны размерам предмета;

Дано: Плоское зеркало, представленное прямой $m$; протяженный предмет $AB$.

Найти: Доказать, что размер изображения $A'B'$ равен размеру предмета $AB$.

Решение:

1. Изображение протяженного предмета в плоском зеркале можно построить, определив положение изображений его отдельных точек. Возьмем предмет в виде отрезка $AB$.

2. Построим изображение точки $A$. Как было доказано выше, изображение $A'$ находится на перпендикуляре $AO_A$ к зеркалу $m$ на таком же расстоянии от зеркала, как и точка $A$. То есть, $AO_A = A'O_A$, и точки $A$, $O_A$, $A'$ лежат на одной прямой, перпендикулярной зеркалу.

3. Аналогично построим изображение точки $B$. Изображение $B'$ находится на перпендикуляре $BO_B$ к зеркалу $m$ так, что $BO_B = B'O_B$.

4. Отрезок $A'B'$ является изображением предмета $AB$. Наша задача — доказать, что длины этих отрезков равны: $|AB| = |A'B'|$.

5. Для доказательства используем метод вспомогательных построений. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную зеркалу $m$, до пересечения с линией $BO_B$ в точке $C$. В результате образуется прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $C$ прямой, если $AB$ не параллелен зеркалу).

6. Аналогично, проведем через точку $A'$ прямую, параллельную зеркалу $m$, до пересечения с линией $B'O_B$ в точке $C'$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle A'B'C'$.

7. Сравним катеты этих двух прямоугольных треугольников:

- Катет $AC$ по построению параллелен и равен отрезку $O_A O_B$ на зеркале. Катет $A'C'$ также параллелен и равен этому же отрезку $O_A O_B$. Следовательно, $|AC| = |A'C'|$.

- Длина катета $BC$ равна разности расстояний точек $A$ и $B$ до прямой $AC$: $|BC| = |BO_B - CO_B| = |BO_B - AO_A|$.

- Аналогично, длина катета $B'C'$ равна $|B'C'| = |B'O_B - C'O_B| = |B'O_B - A'O_A|$.

8. Из доказанного в первом пункте свойства мы знаем, что $AO_A = A'O_A$ и $BO_B = B'O_B$. Подставив это в выражения для длин катетов, получаем: $|BC| = |B'C'|$.

9. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых соответствующие катеты равны ($|AC| = |A'C'|$ и $|BC| = |B'C'|$). Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам.

10. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $|AB| = |A'B'|$.

Ответ: Используя геометрические построения, основанные на свойстве изображения точки в плоском зеркале, мы доказали, что размеры изображения, создаваемого плоским зеркалом, равны размерам самого предмета.