Номер 3, страница 194 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

3. Во сколько раз изменится скорость «снаряда» пружинного пистолета при выстреле в горизонтальном направлении при увеличении сжатия пружины в два раза?

Дано:

$x_1$ — начальное сжатие пружины
$v_1$ — начальная скорость снаряда
$x_2$ — конечное сжатие пружины
$v_2$ — конечная скорость снаряда
$x_2 = 2x_1$

Найти:

$\frac{v_2}{v_1}$ — ?

Решение:

При выстреле из пружинного пистолета в горизонтальном направлении потенциальная энергия сжатой пружины полностью переходит в кинетическую энергию снаряда. Мы можем пренебречь потерями энергии (например, на трение или сопротивление воздуха) и использовать закон сохранения энергии.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле: $E_п = \frac{kx^2}{2}$ где $\text{k}$ — коэффициент жесткости пружины, а $\text{x}$ — величина ее сжатия.

Кинетическая энергия движущегося снаряда вычисляется по формуле: $E_к = \frac{mv^2}{2}$ где $\text{m}$ — масса снаряда, а $\text{v}$ — его скорость.

Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия пружины равна кинетической энергии снаряда в момент вылета: $E_п = E_к$ $\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1. В первом случае пружина сжата на величину $x_1$, и снаряд приобретает скорость $v_1$. Запишем для этого случая закон сохранения энергии: $\frac{kx_1^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2}$ Упростив, получаем: $kx_1^2 = mv_1^2$ (1)

2. Во втором случае сжатие пружины увеличивают в два раза, то есть $x_2 = 2x_1$. При этом снаряд приобретает некую новую скорость $v_2$. Закон сохранения энергии для этого случая: $\frac{kx_2^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2}$ Подставим в это уравнение $x_2 = 2x_1$: $\frac{k(2x_1)^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2}$ $\frac{k \cdot 4x_1^2}{2} = \frac{mv_2^2}{2}$ Упростив, получаем: $4kx_1^2 = mv_2^2$ (2)

Чтобы найти, во сколько раз изменилась скорость, нужно найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$. Для этого разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{4kx_1^2}{kx_1^2} = \frac{mv_2^2}{mv_1^2}$

Сократим одинаковые множители ($\text{k}$, $x_1^2$ и $\text{m}$) в левой и правой частях уравнения: $4 = \frac{v_2^2}{v_1^2}$ $4 = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти отношение скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, при увеличении сжатия пружины в два раза, скорость снаряда также увеличится в два раза.

Ответ: скорость «снаряда» увеличится в 2 раза.