Номер 2, страница 194 - гдз по физике 7 класс учебник Закирова, Аширов

2. Во сколько раз изменится скорость «снаряда» пружинного пистолета при выстреле в горизонтальном направлении:

а) при замене пружины другой, жесткость которой в два раза больше;

б) при увеличении массы «снаряда» в два раза?

Дано:

Начальные параметры:

$k_1$ - жесткость пружины

$m_1$ - масса снаряда

$v_1$ - скорость снаряда

$\text{x}$ - сжатие пружины (постоянная величина)

Параметры в случае а):

$k_a = 2k_1$

$m_a = m_1$

Параметры в случае б):

$k_б = k_1$

$m_б = 2m_1$

Найти:

а) $\frac{v_a}{v_1}$

б) $\frac{v_б}{v_1}$

Решение:

При выстреле из пружинного пистолета в горизонтальном направлении потенциальная энергия сжатой пружины полностью переходит в кинетическую энергию «снаряда». Основываясь на законе сохранения энергии, мы можем приравнять эти два вида энергии.

Потенциальная энергия пружины ($E_п$), сжатой на величину $\text{x}$, определяется формулой:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $\text{k}$ – жесткость пружины.

Кинетическая энергия снаряда ($E_к$) массой $\text{m}$, летящего со скоростью $\text{v}$, равна:

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

Приравнивая $E_п$ и $E_к$, получаем:

$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения выразим скорость снаряда $\text{v}$. Домножим обе части на 2 и разделим на $\text{m}$:

$kx^2 = mv^2$

$v^2 = \frac{kx^2}{m}$

$v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}} = x\sqrt{\frac{k}{m}}$

Эта формула показывает, что скорость прямо пропорциональна корню квадратному из жесткости пружины ($v \propto \sqrt{k}$) и обратно пропорциональна корню квадратному из массы снаряда ($v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$). Используем это для решения подпунктов задачи.

Начальная скорость снаряда: $v_1 = x\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}$

а) при замене пружины другой, жесткость которой в два раза больше;

В этом случае жесткость новой пружины $k_a = 2k_1$, а масса снаряда остается прежней $m_a = m_1$. Новая скорость $v_a$ будет равна:

$v_a = x\sqrt{\frac{k_a}{m_a}} = x\sqrt{\frac{2k_1}{m_1}}$

Найдем, во сколько раз изменится скорость, вычислив отношение $\frac{v_a}{v_1}$:

$\frac{v_a}{v_1} = \frac{x\sqrt{\frac{2k_1}{m_1}}}{x\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}} = \sqrt{\frac{2k_1/m_1}{k_1/m_1}} = \sqrt{2}$

Следовательно, скорость снаряда увеличится в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: Скорость увеличится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).

б) при увеличении массы «снаряда» в два раза?

В этом случае масса нового снаряда $m_б = 2m_1$, а жесткость пружины остается прежней $k_б = k_1$. Новая скорость $v_б$ будет равна:

$v_б = x\sqrt{\frac{k_б}{m_б}} = x\sqrt{\frac{k_1}{2m_1}}$

Найдем отношение новой скорости к начальной:

$\frac{v_б}{v_1} = \frac{x\sqrt{\frac{k_1}{2m_1}}}{x\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}} = \sqrt{\frac{k_1/2m_1}{k_1/m_1}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Следовательно, скорость снаряда уменьшится в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: Скорость уменьшится в $\sqrt{2}$ раз (примерно в 1,41 раза).