Номер 4, страница 187 - гдз по физике 8 класс учебник Громов, Родина

Глава 3. Электрические явления. Параграф 45. Лампа накаливания. Вопросы - номер 4, страница 187.

Условие.

4. Выведите формулу (45.1).

Решение.

4. Выведите формулу (45.1).

Предполагается, что формула (45.1) — это формула для релятивистского эффекта Доплера. Ниже представлен ее вывод.

Дано:

$\nu_0$ - частота электромагнитной волны в системе отсчета, связанной с источником (собственная частота);

$\text{v}$ - скорость источника относительно наблюдателя;

$\text{c}$ - скорость света в вакууме;

$\theta$ - угол между вектором скорости источника $\vec{v}$ и направлением на наблюдателя (в системе отсчета наблюдателя).

Найти:

$\nu$ - частота волны, которую регистрирует наблюдатель.

Решение:

Вывод формулы основан на специальной теории относительности. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: $\text{S}$, в которой наблюдатель покоится, и $S'$, в которой покоится источник. Пусть система $S'$ движется со скоростью $\vec{v}$ относительно системы $\text{S}$.

Пусть источник в своей системе отсчета $S'$ испускает два последовательных максимума (гребня) волны в моменты времени $t'_1 = 0$ и $t'_2 = T_0$, где $T_0 = 1/\nu_0$ - период колебаний в системе отсчета источника (собственный период). Будем считать, что в оба момента времени источник находится в начале координат системы $S'$, то есть его пространственные координаты равны нулю.

Найдем, в какие моменты времени и в каких точках системы отсчета $\text{S}$ происходят эти два события. Для этого воспользуемся преобразованиями Лоренца. Будем считать, что оси $\text{x}$ и $x'$ совпадают и направлены вдоль вектора скорости $\vec{v}$, а в момент $t = t' = 0$ начала координат систем совпадали.

Преобразования Лоренца для времени имеют вид: $t = \gamma (t' + \frac{vx'}{c^2})$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - фактор Лоренца.

Для первого события (испускание первого гребня, $t'_1 = 0$, $x'_1=0$):

$t_1 = \gamma (0 + \frac{v \cdot 0}{c^2}) = 0$.

Положение источника в этот момент в системе $\text{S}$ - начало координат, $\vec{r}_1 = (0, 0, 0)$.

Для второго события (испускание второго гребня, $t'_2 = T_0$, $x'_2=0$):

$t_2 = \gamma (T_0 + \frac{v \cdot 0}{c^2}) = \gamma T_0$.

За это время $t_2$ источник в системе $\text{S}$ переместился в точку с радиус-вектором $\vec{r}_2 = \vec{v}t_2 = \vec{v}\gamma T_0$.

Теперь определим моменты времени, когда эти два гребня волны достигнут наблюдателя, находящегося в системе $\text{S}$ в точке с радиус-вектором $\vec{R}$. Будем считать, что наблюдатель находится очень далеко от источника, так что $R \gg |\vec{r}_2|$.

Первый гребень, испущенный из точки $\vec{r}_1=0$ в момент $t_1=0$, прибудет к наблюдателю в момент времени:

$t_{obs,1} = t_1 + \frac{|\vec{R}-\vec{r}_1|}{c} = 0 + \frac{R}{c} = \frac{R}{c}$.

Второй гребень, испущенный из точки $\vec{r}_2$ в момент $t_2$, прибудет к наблюдателю в момент времени:

$t_{obs,2} = t_2 + \frac{|\vec{R}-\vec{r}_2|}{c}$.

Поскольку $\text{R}$ велико, можно считать, что лучи, идущие к наблюдателю, параллельны. Тогда расстояние $|\vec{R}-\vec{r}_2|$ можно аппроксимировать как $R - \vec{n} \cdot \vec{r}_2$, где $\vec{n} = \vec{R}/R$ - единичный вектор в направлении на наблюдателя. Тогда:

$t_{obs,2} \approx t_2 + \frac{R - \vec{n} \cdot \vec{r}_2}{c} = \gamma T_0 + \frac{R - \vec{n} \cdot (\vec{v}\gamma T_0)}{c} = \gamma T_0 + \frac{R}{c} - \frac{\gamma T_0 (\vec{v} \cdot \vec{n})}{c}$.

Период $\text{T}$, измеряемый наблюдателем, равен разности времен прихода двух последовательных гребней:

$T = t_{obs,2} - t_{obs,1} = \left(\gamma T_0 + \frac{R}{c} - \frac{\gamma T_0 (\vec{v} \cdot \vec{n})}{c}\right) - \frac{R}{c} = \gamma T_0 \left(1 - \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{c}\right)$.

Скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n} = v \cdot 1 \cdot \cos\theta = v\cos\theta$, где $\theta$ - угол между вектором скорости источника $\vec{v}$ и направлением на наблюдателя $\vec{n}$.

Таким образом, $T = \gamma T_0 \left(1 - \frac{v\cos\theta}{c}\right)$.

Частота $\nu$, регистрируемая наблюдателем, равна $\nu = 1/T$. Собственная частота источника $\nu_0 = 1/T_0$. Подставляя эти соотношения, получаем:

$\nu = \frac{1}{\gamma T_0 \left(1 - \frac{v\cos\theta}{c}\right)} = \frac{\nu_0}{\gamma \left(1 - \frac{v\cos\theta}{c}\right)}$.

Наконец, подставим выражение для фактора Лоренца $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$:

$\nu = \nu_0 \frac{\sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 - \frac{v}{c}\cos\theta}$.

Это и есть искомая формула релятивистского эффекта Доплера.

Ответ:

Формула релятивистского эффекта Доплера, связывающая частоту $\nu_0$, испускаемую источником в его системе отсчета, с частотой $\nu$, принимаемой наблюдателем в своей системе отсчета, имеет вид:

$\nu = \nu_0 \frac{\sqrt{1 - v^2/c^2}}{1 - \frac{v}{c}\cos\theta}$

где $\text{v}$ - скорость источника относительно наблюдателя, $\text{c}$ - скорость света, $\theta$ - угол между вектором скорости источника и направлением от источника к наблюдателю, измеренный в системе отсчета наблюдателя.