Страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

30.12. При бросании игральной кости выпало нечетное число очков.

Является ли это событие элементарным? Разделите это событие на простые события.

При бросании игральной кости возможны шесть исходов — выпадение числа очков от 1 до 6. Множество всех элементарных (простых) событий, или пространство элементарных событий, для этого эксперимента: $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Событие А, состоящее в том, что «выпало нечетное число очков», включает в себя исходы, где выпало 1, 3 или 5. Таким образом, это событие можно представить как множество $ A = \{1, 3, 5\} $.

Является ли это событие элементарным?
Элементарным (или простым) событием называется событие, состоящее из одного-единственного исхода, которое невозможно разложить на более простые составляющие. В нашем случае элементарными событиями являются, например, «выпало 1 очко» или «выпало 4 очка».
Событие А («выпало нечетное число очков») содержит три элементарных исхода: 1, 3 и 5. Поскольку оно состоит из более чем одного исхода, оно не является элементарным, а является составным (сложным) событием.
Ответ: Нет, это событие не является элементарным, так как оно состоит из трех элементарных исходов.

Разделите это событие на простые события.
Разделить составное событие на простые (элементарные) означает указать все элементарные события, из которых оно состоит. Событие А является объединением этих простых событий.
Событие «выпало нечетное число очков» состоит из следующих трех простых событий:
- «выпало 1 очко»;
- «выпало 3 очка»;
- «выпало 5 очков».
Каждое из этих событий является элементарным, так как содержит только один исход.
Ответ: Событие «выпало нечетное число очков» раскладывается на три простых события: «выпало 1 очко», «выпало 3 очка», «выпало 5 очков».

30.13. Из перечисленных событий назовите равновозможные:

событие А: при бросании игрального кубика выпало 2 очка;

событие В: при бросании игрального кубика выпало 4 очка;

событие С: при бросании игрального кубика выпало 6 очков;

событие D: при вынимании из колоды карт одной карты был вынут туз;

событие Е: при вынимании из колоды карт одной карты был вынут валет.

Равновозможными называются события, которые в результате испытания имеют одинаковую вероятность наступления. Для того чтобы определить, какие из перечисленных событий являются равновозможными, необходимо найти и сравнить их вероятности.

Анализ событий A, B и C

События A, B и C связаны с бросанием стандартного игрального кубика. У кубика 6 граней, и при условии, что кубик "правильный" (не смещенный), вероятность выпадения любой из граней (1, 2, 3, 4, 5 или 6) одинакова. Общее число возможных исходов равно 6.

Для события A ("выпало 2 очка") существует 1 благоприятный исход. Его вероятность $P(A) = \frac{1}{6}$.

Для события B ("выпало 4 очка") также существует 1 благоприятный исход. Его вероятность $P(B) = \frac{1}{6}$.

Для события C ("выпало 6 очков") также существует 1 благоприятный исход. Его вероятность $P(C) = \frac{1}{6}$.

Поскольку $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{6}$, события A, B и C являются равновозможными по отношению друг к другу.

Анализ событий D и E

События D и E связаны с выниманием одной карты из колоды. В стандартных игральных колодах (например, на 36 или 52 карты) количество карт каждого достоинства одинаково. В любой такой колоде содержится 4 туза и 4 валета.

Для события D ("вынут туз") число благоприятных исходов (количество тузов) равно 4. Если общее число карт в колоде равно $N$, то вероятность события D: $P(D) = \frac{4}{N}$.

Для события E ("вынут валет") число благоприятных исходов (количество валетов) также равно 4. Вероятность события E из той же колоды: $P(E) = \frac{4}{N}$.

Поскольку $P(D) = P(E) = \frac{4}{N}$, события D и E также являются равновозможными по отношению друг к другу.

Итоговое сравнение

Теперь сравним вероятности событий из разных групп. Вероятность событий из первой группы (A, B, C) составляет $\frac{1}{6}$. Вероятность событий из второй группы (D, E) составляет $\frac{4}{N}$.

Например, если используется колода из 36 карт, то $P(D) = P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$. Если используется колода из 52 карт, то $P(D) = P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.

В обоих распространенных случаях $\frac{1}{6} \neq \frac{1}{9}$ и $\frac{1}{6} \neq \frac{1}{13}$. Это означает, что события, связанные с броском кубика, не являются равновозможными событиям, связанным с извлечением карты.

Таким образом, можно выделить две независимые группы равновозможных событий.

Ответ: Равновозможными являются события A, B, C. Также равновозможными являются события D и E.

30.14. Выполните:

1) $\left(1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) \cdot \left(\sqrt{1 + x^2} - x\right);$

2) $\left(\frac{1}{a - \sqrt{x}} + \frac{1}{a + \sqrt{x}}\right) : \frac{a}{a^2 - x}.$

1) Упростим данное выражение по шагам. Первым делом выполним действие в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sqrt{1+x^2}$.

$1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\left(\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \cdot (\sqrt{1+x^2} - x)$

Перемножим дроби, умножив числитель на выражение во второй скобке:

$\frac{(\sqrt{1+x^2} + x)(\sqrt{1+x^2} - x)}{\sqrt{1+x^2}}$

Числитель представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{1+x^2}$ и $b = x$.

Применим эту формулу к числителю:

$(\sqrt{1+x^2})^2 - x^2 = (1+x^2) - x^2 = 1 + x^2 - x^2 = 1$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

2) Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей $(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})$.

$\frac{1}{a-\sqrt{x}} + \frac{1}{a+\sqrt{x}} = \frac{1 \cdot (a+\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})} + \frac{1 \cdot (a-\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{(a+\sqrt{x}) + (a-\sqrt{x})}{(a-\sqrt{x})(a+\sqrt{x})} = \frac{a+\sqrt{x} + a-\sqrt{x}}{a^2 - (\sqrt{x})^2} = \frac{2a}{a^2 - x}$

При упрощении знаменателя мы использовали формулу разности квадратов.

Теперь выполним деление, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{2a}{a^2 - x} : \frac{a}{a^2-x}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{2a}{a^2 - x} \cdot \frac{a^2-x}{a}$

Сократим общие множители $a$ и $(a^2-x)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{a}}{\cancel{a^2 - x}} \cdot \frac{\cancel{a^2-x}}{\cancel{a}} = 2$

Выражение имеет смысл при $x \ge 0$, $a \ne 0$ и $a^2 \ne x$.

Ответ: $2$

30.15. Решите методом интервалов неравенство:

1) $\frac{x}{x+1} \leq \frac{2}{x-1}$

2) $\frac{2x}{x+2} - 1 \geq \frac{2}{x-2}$

1) $\frac{x}{x+1} \le \frac{2}{x-1}$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{x}{x+1} - \frac{2}{x-1} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:

$\frac{x(x-1) - 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x^2 - x - 2x - 2}{(x+1)(x-1)} \le 0$

$\frac{x^2 - 3x - 2}{(x+1)(x-1)} \le 0$

Теперь найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 3x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут входить в решение, и на числовой прямой мы их отметим закрашенными кружками.

Нули знаменателя: $(x+1)(x-1) = 0$.

Отсюда $x_3 = -1$ и $x_4 = 1$. Эти точки не входят в область допустимых значений, поэтому на числовой прямой мы их отметим выколотыми (пустыми) кружками.

Расположим найденные точки на числовой оси в порядке возрастания: $-1$, $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$, $1$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ (поскольку $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-1 < \frac{3-\sqrt{17}}{2} < -0.5$ и $3.5 < \frac{3+\sqrt{17}}{2} < 4$).

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 3x - 2}{(x+1)(x-1)}$ на каждом из полученных интервалов.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю (знак «–»). Это интервалы $(-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}]$ и $(1, \frac{3+\sqrt{17}}{2}] $.

Ответ: $x \in (-1, \frac{3-\sqrt{17}}{2}] \cup (1, \frac{3+\sqrt{17}}{2}]$.

2) $\frac{2x}{x+2} - 1 \ge \frac{2}{x-2}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2x}{x+2} - 1 - \frac{2}{x-2} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:

$\frac{2x(x-2) - 1(x+2)(x-2) - 2(x+2)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x^2 - 4x - (x^2 - 4) - (2x + 4)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{2x^2 - 4x - x^2 + 4 - 2x - 4}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

$\frac{x^2 - 6x}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{x(x-6)}{(x+2)(x-2)} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x-6) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки будут входить в решение (закрашенные кружки).

Нули знаменателя: $(x+2)(x-2) = 0$. Отсюда $x_3 = -2$ и $x_4 = 2$. Эти точки не входят в ОДЗ (выколотые кружки).

Отметим точки на числовой оси: -2, 0, 2, 6.

Определим знаки выражения на каждом интервале.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак «+»). Это интервалы $(-\infty, -2)$, $[0, 2)$ и $[6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, 2) \cup [6, \infty)$.

30.16. 1) На сколько процентов увеличится значение произведения двух чисел, если одно из них увеличить на $30\%$, другое — на $20\%$?

2) На сколько процентов уменьшится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на $25\%$, другое — на $40\%$?

3) На сколько процентов уменьшится дробь, если ее числитель уменьшить на $40\%$, знаменатель — на $20\%$?

4) На сколько процентов уменьшится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на $50\%$, другое увеличить на $20\%$?

1) На сколько процентов увеличится значение произведения двух чисел, если одно из них увеличить на 30%, другое — на 20%?

Пусть исходные числа — это $a$ и $b$. Их произведение равно $P_{старое} = a \cdot b$.

Увеличим первое число на 30%: $a_{новое} = a + 0.3a = 1.3a$.

Увеличим второе число на 20%: $b_{новое} = b + 0.2b = 1.2b$.

Новое произведение будет равно: $P_{новое} = a_{новое} \cdot b_{новое} = (1.3a) \cdot (1.2b) = 1.56 \cdot (a \cdot b) = 1.56 P_{старое}$.

Новое значение составляет 156% от старого. Чтобы найти процент увеличения, вычтем из нового значения старое (100%):

$1.56 P_{старое} - P_{старое} = 0.56 P_{старое}$.

Переведем в проценты: $0.56 \cdot 100\% = 56\%$.

Ответ: значение произведения увеличится на 56%.

2) На сколько процентов уменьшится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на 25%, другое — на 40%?

Пусть исходные числа — это $a$ и $b$. Их произведение равно $P_{старое} = a \cdot b$.

Уменьшим первое число на 25%: $a_{новое} = a - 0.25a = 0.75a$.

Уменьшим второе число на 40%: $b_{новое} = b - 0.4b = 0.6b$.

Новое произведение будет равно: $P_{новое} = a_{новое} \cdot b_{новое} = (0.75a) \cdot (0.6b) = 0.45 \cdot (a \cdot b) = 0.45 P_{старое}$.

Новое значение составляет 45% от старого. Чтобы найти процент уменьшения, вычтем из старого значения (100%) новое:

$P_{старое} - 0.45 P_{старое} = 0.55 P_{старое}$.

Переведем в проценты: $0.55 \cdot 100\% = 55\%$.

Ответ: значение произведения уменьшится на 55%.

3) На сколько процентов уменьшится дробь, если ее числитель уменьшить на 40%, знаменатель — на 20%?

Пусть исходная дробь — это $F_{старая} = \frac{n}{d}$, где $n$ — числитель, а $d$ — знаменатель.

Уменьшим числитель на 40%: $n_{новый} = n - 0.4n = 0.6n$.

Уменьшим знаменатель на 20%: $d_{новый} = d - 0.2d = 0.8d$.

Новая дробь будет равна: $F_{новая} = \frac{n_{новый}}{d_{новый}} = \frac{0.6n}{0.8d} = \frac{0.6}{0.8} \cdot \frac{n}{d} = 0.75 \cdot F_{старая}$.

Новое значение составляет 75% от старого. Чтобы найти процент уменьшения, вычтем из старого значения (100%) новое:

$F_{старая} - 0.75 F_{старая} = 0.25 F_{старая}$.

Переведем в проценты: $0.25 \cdot 100\% = 25\%$.

Ответ: дробь уменьшится на 25%.

4) На сколько процентов уменьшится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на 50%, другое увеличить на 20%?

Пусть исходные числа — это $a$ и $b$. Их произведение равно $P_{старое} = a \cdot b$.

Уменьшим первое число на 50%: $a_{новое} = a - 0.5a = 0.5a$.

Увеличим второе число на 20%: $b_{новое} = b + 0.2b = 1.2b$.

Новое произведение будет равно: $P_{новое} = a_{новое} \cdot b_{новое} = (0.5a) \cdot (1.2b) = 0.6 \cdot (a \cdot b) = 0.6 P_{старое}$.

Новое значение составляет 60% от старого. Чтобы найти процент уменьшения, вычтем из старого значения (100%) новое:

$P_{старое} - 0.6 P_{старое} = 0.4 P_{старое}$.

Переведем в проценты: $0.4 \cdot 100\% = 40\%$.

Ответ: значение произведения уменьшится на 40%.