Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

30.5. Каким (невозможным, достоверным или случайным) является событие — случайным образом открывается учебник казахского языка и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается с буквы:

1) “Ә” или “Н”;

2) “Ъ”?

1) “Э” или “Ц”
Для начала определим типы событий:
- Невозможное событие — это событие, которое не может произойти ни при каких условиях.
- Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдёт.
- Случайное событие — это событие, которое в данных условиях может как произойти, так и не произойти.
Рассмотрим данное событие. Буквы «Э» и «Ц» входят в состав современного казахского алфавита, основанного на кириллице. Однако они используются преимущественно в заимствованных из русского и других языков словах (например, экран, экономика, цирк, цемент). Такие слова могут встретиться в тексте учебника казахского языка. Поскольку существует вероятность найти слово, начинающееся на одну из этих букв, событие не является невозможным. В то же время, нет никакой гарантии, что второе слово на случайно открытой странице будет начинаться именно с «Э» или «Ц», так как большинство слов в казахском языке начинаются с других букв. Следовательно, это событие не является достоверным.
Таким образом, это событие может произойти, а может и не произойти.
Ответ: случайным.

2) “Б”
Рассмотрим событие, в котором второе слово на левой странице начинается с буквы «Б». Буква «Б» является одной из основных букв казахского алфавита. Множество исконно казахских слов начинается с этой буквы (например, бала – ребенок, білім – знание, бас – голова). Поэтому вполне возможно, что при случайном открытии учебника второе слово на странице будет начинаться с буквы «Б». Это означает, что событие не является невозможным.
Однако нет никакой гарантии, что это слово будет начинаться именно с «Б». Оно с такой же вероятностью может начинаться и с других букв, таких как «А», «С», «Т», «К» и т. д. Следовательно, это событие не является достоверным.
Поскольку событие может произойти, а может и не произойти, оно является случайным.
Ответ: случайным.

30.6. Приведите пять примеров противоположных событий.

Противоположными (или дополнительными) событиями в теории вероятностей называют два взаимоисключающих события, которые образуют полную группу. Это означает, что в результате опыта одно из этих событий обязательно произойдёт, и они не могут произойти одновременно. Если одно событие обозначить как $A$, то противоположное ему обозначается как $\bar{A}$. Сумма их вероятностей всегда равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Ниже приведены пять примеров противоположных событий.

Пример 1. Бросок монеты

При однократном подбрасывании симметричной монеты возможны только два исхода: выпадение «орла» или выпадение «решки». Эти два события не могут произойти одновременно, и никакое другое событие, кроме этих двух, произойти не может.

Ответ: Событие $A$ — «Выпал орёл». Противоположное событие $\bar{A}$ — «Выпала решка».

Пример 2. Бросок игрального кубика

Рассмотрим эксперимент с броском стандартного шестигранного кубика. Определим событие как выпадение чётного числа очков. Тогда противоположным событием будет выпадение нечётного числа очков, так как любое выпавшее число (от 1 до 6) является либо чётным, либо нечётным.

Ответ: Событие $A$ — «На кубике выпало чётное число очков» (2, 4 или 6). Противоположное событие $\bar{A}$ — «На кубике выпало нечётное число очков» (1, 3 или 5).

Пример 3. Стрельба по мишени

Стрелок производит один выстрел по мишени. В результате этого действия возможны только два исхода: либо стрелок попадёт в мишень, либо промахнётся. Третьего не дано (в рамках данного простого эксперимента).

Ответ: Событие $A$ — «Стрелок попал в мишень». Противоположное событие $\bar{A}$ — «Стрелок промахнулся».

Пример 4. Извлечение шара из урны

В урне находятся только белые и чёрные шары. Случайным образом извлекается один шар. Он может быть либо белым, либо чёрным.

Ответ: Событие $A$ — «Извлечённый шар — белый». Противоположное событие $\bar{A}$ — «Извлечённый шар — чёрный».

Пример 5. Проверка качества детали

С конвейера для проверки берётся одна деталь. По результатам проверки она может быть признана либо годной (стандартной), либо бракованной. Эти два состояния исключают друг друга и охватывают все возможные исходы проверки.

Ответ: Событие $A$ — «Деталь является годной». Противоположное событие $\bar{A}$ — «Деталь является бракованной».

30.7. Является ли элементарным данное событие? Если нет, то разделите его на простые события:

1) событие A: "случайным образом составленное квадратное уравнение имеет действительные корни";

2) событие B: "дискриминант квадратного уравнения отрицателен".

1) событие A: “случайным образом составленное квадратное уравнение имеет действительные корни”

Данное событие не является элементарным (простым), так как его можно разложить на более простые события.

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Это условие объединяет два различных исхода:

а) Дискриминант строго больше нуля ($D > 0$). В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня. Это первое простое событие.

б) Дискриминант равен нулю ($D = 0$). В этом случае уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих действительных корня). Это второе простое событие.

Таким образом, событие А является составным, так как представляет собой объединение (сумму) двух простых событий.

Простые события, из которых состоит событие А:

1. “Случайным образом составленное квадратное уравнение имеет два различных действительных корня” (что соответствует условию $D > 0$).

2. “Случайным образом составленное квадратное уравнение имеет один действительный корень” (что соответствует условию $D = 0$).

Ответ: Событие А не является элементарным. Оно разлагается на два простых события: “уравнение имеет два различных действительных корня” и “уравнение имеет один действительный корень”.

2) событие B: “дискриминант квадратного уравнения отрицателен”

Данное событие является элементарным (простым).

В рамках эксперимента, исходами которого являются выводы о количестве действительных корней квадратного уравнения, существует три возможных неразложимых исхода:

• уравнение имеет два различных действительных корня ($D > 0$);
• уравнение имеет один действительный корень ($D = 0$);
• уравнение не имеет действительных корней ($D < 0$).

Событие B, “дискриминант квадратного уравнения отрицателен” ($D < 0$), в точности соответствует одному из этих исходов — “уравнение не имеет действительных корней”. Это событие нельзя разложить на более простые, поэтому оно является элементарным.

Ответ: Событие В является элементарным.

30.8. Являются ли равновозможными событие А и событие В, если событие А заключается в том, что случайным образом выбранная функция $y = f(x)$ на множестве $R$ монотонно возрастает; событие В заключается в том, что $f(56) < f(57)$?

Для ответа на данный вопрос необходимо оценить и сравнить вероятности наступления события А и события В. Несмотря на то, что понятие «случайным образом выбранная функция» не имеет строгого формального определения в математике без задания конкретного вероятностного пространства, решение подобных задач обычно опирается на принцип симметрии.

Рассмотрим событие В, которое заключается в том, что для случайно выбранной функции $y=f(x)$ выполняется неравенство $f(56) < f(57)$. Давайте проанализируем значения функции в этих двух точках, $y_1 = f(56)$ и $y_2 = f(57)$. Так как функция выбирается случайно, нет никаких априорных причин считать, что одно из этих значений будет больше или меньше другого. Можно рассматривать $y_1$ и $y_2$ как два независимых случайных значения из множества действительных чисел $R$. Существует три возможных соотношения между ними: $y_1 < y_2$, $y_1 > y_2$ или $y_1 = y_2$. Исходя из симметрии, первые два исхода являются равновероятными. Вероятность того, что два случайно выбранных действительных числа окажутся в точности равны друг другу, равна нулю (при любом непрерывном распределении вероятностей). Таким образом, вся единичная вероятность распределяется между двумя оставшимися исходами. Следовательно, вероятность события В равна $P(B) = P(f(56) < f(57)) = 1/2$.

Теперь рассмотрим событие А, которое заключается в том, что случайно выбранная функция $y=f(x)$ монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел $R$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, должно выполняться неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Это очень сильное ограничение, так как оно должно выполняться для бесконечного числа пар точек. Чтобы оценить вероятность этого события, рассмотрим значения функции в $n$ различных точках, упорядоченных по возрастанию: $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Для выполнения условия монотонного возрастания необходимо, чтобы соответствующие значения функции также были упорядочены: $f(x_1) \le f(x_2) \le \dots \le f(x_n)$.

Если мы считаем, что значения $y_i = f(x_i)$ являются случайными и независимыми, и их распределение непрерывно, то вероятность совпадения любых двух значений равна нулю. Тогда условие сводится к $f(x_1) < f(x_2) < \dots < f(x_n)$. Существует $n!$ (n-факториал) возможных перестановок для $n$ различных значений. В силу симметрии все эти перестановки равновероятны. Только одна из них соответствует возрастающему порядку. Таким образом, вероятность того, что значения функции в $n$ случайно выбранных точках окажутся в порядке возрастания, равна $1/n!$.

Событие А требует выполнения условия монотонности для всех точек на действительной оси, а не только для $n$ точек. Это означает, что вероятность события А должна быть меньше или равна вероятности выполнения этого условия для любого конечного набора из $n$ точек: $P(A) \le 1/n!$ для любого натурального $n \ge 2$. Поскольку это неравенство верно для сколь угодно большого $n$, а $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0$, мы можем заключить, что вероятность события А равна нулю: $P(A) = 0$.

Сравнивая полученные вероятности, мы видим, что $P(A) = 0$ и $P(B) = 1/2$. Так как $0 \ne 1/2$, события А и В не являются равновозможными.

Ответ: Нет, события А и В не являются равновозможными.

30.9. Перечислите все равновозможные события, которые могут произойти в результате подбрасывания:

1) одной монеты;

2) игрального кубика;

3) двух монет.

1) одной монеты;

При подбрасывании одной монеты существуют два элементарных исхода (события), которые считаются равновозможными, если монета симметрична. Эти исходы — выпадение одной из двух сторон монеты.
1. Выпадение «орла».
2. Выпадение «решки».
Вероятность каждого из этих событий при одном броске равна $1/2$.
Ответ: выпадение «орла», выпадение «решки».

2) игрального кубика;

Стандартный игральный кубик представляет собой куб с шестью гранями, на которых нанесены числа от 1 до 6. Если кубик является идеальным (однородным и с правильной геометрической формой), то при его подбрасывании существует шесть равновозможных событий. Каждое событие соответствует числу очков, выпавшему на верхней грани.
1. Выпадение 1 очка.
2. Выпадение 2 очков.
3. Выпадение 3 очков.
4. Выпадение 4 очков.
5. Выпадение 5 очков.
6. Выпадение 6 очков.
Вероятность каждого из этих событий равна $1/6$.
Ответ: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков.

3) двух монет.

При подбрасывании двух монет результатом является комбинация исходов для каждой монеты. Обозначим «орел» как О, а «решку» как Р. Чтобы перечислить все равновозможные события, нужно рассмотреть все возможные пары исходов для первой и второй монеты.
1. На обеих монетах выпал «орел» (О, О).
2. На первой монете выпал «орел», на второй — «решка» (О, Р).
3. На первой монете выпала «решка», на второй — «орел» (Р, О).
4. На обеих монетах выпала «решка» (Р, Р).
Эти четыре исхода являются элементарными и равновозможными. Общее число исходов равно $2 \times 2 = 4$. Вероятность каждого из них составляет $1/4$. Важно различать исходы (О, Р) и (Р, О), так как они представляют собой разные комбинации.
Ответ: (орел, орел), (орел, решка), (решка, орел), (решка, решка).

30.10. Укажите события, противоположные событию:

1) моего соседа по парте зовут не Алибек и не Азамат;

2) явка на выборы была от 82% до 93%;

3) на контрольной работе по математике я не выполнил, как минимум, два задания из пяти.

1) Исходное событие $A$ — «моего соседа по парте зовут не Алибек и не Азамат». Это логическое высказывание можно записать как (Имя ≠ Алибек) И (Имя ≠ Азамат). Противоположным событием $\bar{A}$ является отрицание этого высказывания. Согласно законам логики (законам де Моргана), отрицание конъюнкции («И») эквивалентно дизъюнкции («ИЛИ») отрицаний. То есть, НЕ ((Имя ≠ Алибек) И (Имя ≠ Азамат)) равносильно (НЕ (Имя ≠ Алибек)) ИЛИ (НЕ (Имя ≠ Азамат)). Это, в свою очередь, упрощается до (Имя = Алибек) ИЛИ (Имя = Азамат). Таким образом, противоположное событие состоит в том, что соседа зовут либо Алибек, либо Азамат.
Ответ: моего соседа по парте зовут Алибек или Азамат.

2) Исходное событие $B$ — «явка на выборы была от 82% до 93%». Если обозначить явку в процентах переменной $x$, то это событие описывается двойным неравенством $82 \le x \le 93$. Противоположное событие $\bar{B}$ означает, что явка не попадает в этот диапазон. Учитывая, что явка как процентная величина находится в пределах от 0% до 100% ($0 \le x \le 100$), противоположное событие будет описываться случаями, когда явка меньше 82% или больше 93%. Математически это можно записать как $x < 82$ или $x > 93$.
Ответ: явка на выборы была меньше 82% или больше 93%.

3) Исходное событие $C$ — «на контрольной работе по математике я не выполнил, как минимум, два задания из пяти». Фраза «как минимум, два» означает «два или больше». Если обозначить количество невыполненных заданий через $n$, то это событие можно записать как $n \ge 2$, то есть $n$ может быть равно 2, 3, 4 или 5. Противоположное событие $\bar{C}$ состоит в том, что исходное событие не произошло, то есть количество невыполненных заданий не больше или равно двум. Это означает, что количество невыполненных заданий строго меньше двух: $n < 2$. Так как $n$ — целое неотрицательное число, то это условие означает, что $n=0$ или $n=1$. Другими словами, не было выполнено 0 или 1 задание, что равносильно тому, что было выполнено 5 или 4 задания. Это можно сформулировать как «выполнено как минимум четыре задания».
Ответ: на контрольной работе по математике я выполнил как минимум четыре задания из пяти (или: я не выполнил менее двух заданий).

30.11. Назовите событие, противоположное событию в данном испытании:

1) при бросании монеты выпала решка;

2) при бросании игральной кости выпало 4 очка;

3) из корзины, в которой лежат 3 белых и 6 красных шаров, случайным образом вынут красный шар;

4) при бросании игральной кости выпало меньше 4-х очков;

5) случайно выбранная цифра меньше 7;

6) из 5 выстрелов по мишени хотя бы одна пуля попала в цель.

1) при бросании монеты выпала решка;
В данном испытании возможны два исхода: выпадение орла или выпадение решки. Событие, противоположное выпадению решки, — это выпадение орла. Пусть событие A — "выпала решка". Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — "не выпала решка", что в данном случае эквивалентно событию "выпал орел".
Ответ: при бросании монеты выпал орел.

2) при бросании игральной кости выпало 4 очка;
При бросании игральной кости возможны следующие исходы: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Событие A — "выпало 4 очка". Противоположное событие $\bar{A}$ состоит из всех остальных возможных исходов, то есть "выпало не 4 очка".
Ответ: при бросании игральной кости выпало число очков, не равное 4 (то есть выпало 1, 2, 3, 5 или 6 очков).

3) из корзины, в которой лежат 3 белых и 6 красных шаров, случайным образом вынут красный шар;
В корзине находятся шары только двух цветов. Если происходит событие "вынут красный шар", то противоположным ему будет событие "вынут не красный шар". Так как в корзине есть только белые и красные шары, то "не красный шар" означает "белый шар".
Ответ: из корзины случайным образом вынут белый шар.

4) при бросании игральной кости выпало меньше 4-х очков;
Событие "выпало меньше 4-х очков" означает, что результатом броска стало одно из чисел: 1, 2 или 3. Противоположное событие состоит в том, что результат броска не меньше 4, то есть больше или равен 4. Это исходы: 4, 5 или 6.
Ответ: при бросании игральной кости выпало не меньше 4-х очков (то есть 4, 5 или 6 очков).

5) случайно выбранная цифра меньше 7;
Множество всех цифр: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Событие "цифра меньше 7" означает выбор цифры из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Противоположное событие заключается в выборе цифры, которая не меньше 7, то есть принадлежит множеству $\{7, 8, 9\}$.
Ответ: случайно выбранная цифра не меньше 7 (то есть 7, 8 или 9).

6) из 5 выстрелов по мишени хотя бы одна пуля попала в цель.
Событие "хотя бы одна пуля попала в цель" означает, что было одно, два, три, четыре или пять попаданий. Единственный исход, который не удовлетворяет этому условию, — это ноль попаданий. Следовательно, противоположным событием является отсутствие попаданий, то есть все 5 выстрелов были промахами.
Ответ: ни одна пуля не попала в цель (все 5 выстрелов - промахи).