Страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

2. Что означает слово бином, символ $Σ$?

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

4. Сколько слагаемых в биномах $(a + b)^4$ и $(a + b)^5$?

5. Запишите формулы для вычисления: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

6. Назовите средние члены биномов $(a - b)^4$ и $(a + b)^5$.

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, используемая для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, то есть выражения вида $(a+b)^n$.

Основные сферы применения:

- Алгебра: для возведения двучленов в степень. Это основное и наиболее прямое применение формулы. Например, для быстрого раскрытия скобок в выражениях $(x+y)^7$ или $(2x-3)^5$.

- Комбинаторика: биномиальные коэффициенты $C_n^k$, используемые в формуле, представляют собой число сочетаний из $n$ по $k$. Бином Ньютона используется для доказательства различных комбинаторных тождеств.

- Теория вероятностей: формула лежит в основе биномиального распределения, которое описывает количество успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

- Математический анализ: обобщение формулы бинома Ньютона используется для разложения функций в степенные ряды (ряды Тейлора), например, функции $(1+x)^\alpha$, где $\alpha$ — любое действительное число.

- Теория чисел: используется в доказательствах различных теорем и свойств, связанных с делимостью.

Ответ: Бином Ньютона используется для возведения двучленов в степень в алгебре, в комбинаторике для вычисления сочетаний и доказательства тождеств, в теории вероятностей для биномиального распределения, а также в математическом анализе и теории чисел.

2. Что означает слово бином, символ Σ?

Бином (от латинского bi — «дважды» и греческого nomos — «часть, член») — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух одночленов (членов). Например, $a+b$ или $3x-y^2$. Формула бинома Ньютона как раз и предназначена для работы с такими выражениями, возводимыми в степень.

Символ Σ (сигма) — это заглавная буква греческого алфавита, которая в математике используется как знак суммирования. Он указывает на необходимость сложить последовательность членов. Общий вид записи: $\sum_{k=m}^{n} a_k$, что означает сумму членов $a_k$, где индекс $k$ пробегает все целые значения от $m$ до $n$ включительно. То есть, $\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \dots + a_n$. В контексте бинома Ньютона, формула записывается как $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$.

Ответ: Бином — это двучлен, то есть алгебраическая сумма двух одночленов. Символ Σ (сигма) — это математический знак, обозначающий операцию суммирования последовательности членов.

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты, которые стоят при степенях переменных в формуле разложения бинома Ньютона. Они обозначаются как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и читаются «число сочетаний из $n$ по $k$».

Вычисляются биномиальные коэффициенты по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению $0! = 1$.

С комбинаторной точки зрения, биномиальный коэффициент $C_n^k$ равен числу способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка выбора.

Эти коэффициенты можно также найти с помощью треугольника Паскаля, где каждый элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним.

Ответ: Биномиальные коэффициенты — это числовые множители в разложении степени бинома, которые вычисляются по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из $n$.

4. Сколько слагаемых в биномах $(a + b)^4$ и $(a + b)^5$?

Дано:

Бином в степени 4: $(a+b)^4$.

Бином в степени 5: $(a+b)^5$.

Найти:

Количество слагаемых в разложении каждого бинома.

Решение:

Общая формула бинома Ньютона для $(a+b)^n$ имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Суммирование происходит по индексу $k$ от 0 до $n$. Количество значений, которые принимает индекс $k$, равно $n - 0 + 1 = n+1$. Каждому значению $k$ соответствует одно слагаемое в разложении. Таким образом, число слагаемых в разложении бинома $(a+b)^n$ всегда равно $n+1$.

1) Для бинома $(a+b)^4$, имеем $n=4$. Число слагаемых равно $n+1 = 4+1 = 5$.

2) Для бинома $(a+b)^5$, имеем $n=5$. Число слагаемых равно $n+1 = 5+1 = 6$.

Ответ: В разложении бинома $(a + b)^4$ содержится 5 слагаемых, а в разложении бинома $(a + b)^5$ — 6 слагаемых.

5. Запишите формулы для вычисления: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

Дано:

Выражения: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

Найти:

Записать формулы разложения данных выражений.

Решение:

Используем формулу бинома Ньютона: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k}y^k$. Биномиальные коэффициенты $C_n^k$ можно найти по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или из треугольника Паскаля.

Для $n=4$ коэффициенты: $C_4^0=1, C_4^1=4, C_4^2=6, C_4^3=4, C_4^4=1$.

Для $n=5$ коэффициенты: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.

1) Для $(a+b)^4$:

$(a+b)^4 = C_4^0a^4b^0 + C_4^1a^3b^1 + C_4^2a^2b^2 + C_4^3a^1b^3 + C_4^4a^0b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

2) Для $(a-b)^4$ (представим как $(a+(-b))^4$):

$(a-b)^4 = a^4 + 4a^3(-b) + 6a^2(-b)^2 + 4a(-b)^3 + (-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$. Знаки чередуются.

3) Для $(a+b)^5$:

$(a+b)^5 = C_5^0a^5 + C_5^1a^4b + C_5^2a^3b^2 + C_5^3a^2b^3 + C_5^4ab^4 + C_5^5b^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

4) Для $(a-b)^5$ (представим как $(a+(-b))^5$):

$(a-b)^5 = a^5 + 5a^4(-b) + 10a^3(-b)^2 + 10a^2(-b)^3 + 5a(-b)^4 + (-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$. Знаки чередуются.

Ответ:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

6. Назовите средние члены биномов $(a - b)^4$ и $(a + b)^5$.

Дано:

Бином $(a - b)^4$.

Бином $(a + b)^5$.

Найти:

Средний(е) член(ы) разложения каждого бинома.

Решение:

Общий член разложения бинома $(x+y)^n$ имеет вид $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $k$ изменяется от 0 до $n$. Всего в разложении $n+1$ член.

1) Для бинома $(a-b)^4$ имеем $n=4$. Количество членов равно $n+1=5$. Так как число членов нечетное, средний член будет один. Его порядковый номер $(n/2) + 1 = (4/2) + 1 = 3$. Это член $T_3$. Для нахождения $T_3$ используем $k=2$.

Находим этот член для $(a+(-b))^4$:

$T_3 = C_4^2 a^{4-2} (-b)^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} a^2 b^2 = \frac{24}{2 \cdot 2} a^2 b^2 = 6a^2b^2$.

2) Для бинома $(a+b)^5$ имеем $n=5$. Количество членов равно $n+1=6$. Так как число членов четное, средних членов будет два. Их порядковые номера $(n+1)/2 = (5+1)/2 = 3$ и $(n+1)/2 + 1 = 4$. Это члены $T_3$ и $T_4$.

Найдем $T_3$ (при $k=2$) для $(a+b)^5$:

$T_3 = C_5^2 a^{5-2} b^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} a^3 b^2 = \frac{120}{2 \cdot 6} a^3 b^2 = 10a^3b^2$.

Найдем $T_4$ (при $k=3$) для $(a+b)^5$:

$T_4 = C_5^3 a^{5-3} b^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} a^2 b^3 = \frac{120}{6 \cdot 2} a^2 b^3 = 10a^2b^3$.

Ответ: Средний член бинома $(a - b)^4$ — это $6a^2b^2$. Средние члены бинома $(a + b)^5$ — это $10a^3b^2$ и $10a^2b^3$.

11.1. Найдите разложение следующих полиномов:

1) $(x+a)^5$;

2) $(3x+2a)^6$;

3) $(3x-a)^5$.

Для решения данной задачи используется формула бинома Ньютона:
$(u+v)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{n-k} v^k = C_n^0 u^n v^0 + C_n^1 u^{n-1} v^1 + \dots + C_n^n u^0 v^n$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Их можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x+a)^5$
В этом случае $u=x$, $v=a$ и $n=5$.
Биномиальные коэффициенты для степени $n=5$ равны: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.
Подставляем значения в формулу бинома Ньютона:
$(x+a)^5 = C_5^0 x^5 a^0 + C_5^1 x^4 a^1 + C_5^2 x^3 a^2 + C_5^3 x^2 a^3 + C_5^4 x^1 a^4 + C_5^5 x^0 a^5$
$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot a + 10 \cdot x^3 \cdot a^2 + 10 \cdot x^2 \cdot a^3 + 5 \cdot x \cdot a^4 + 1 \cdot 1 \cdot a^5$
$= x^5 + 5x^4a + 10x^3a^2 + 10x^2a^3 + 5xa^4 + a^5$.
Ответ: $x^5 + 5x^4a + 10x^3a^2 + 10x^2a^3 + 5xa^4 + a^5$.

2) $(3x+2a)^6$
Здесь $u=3x$, $v=2a$ и $n=6$.
Биномиальные коэффициенты для степени $n=6$ равны: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.
Подставляем значения в формулу:
$(3x+2a)^6 = C_6^0(3x)^6(2a)^0 + C_6^1(3x)^5(2a)^1 + C_6^2(3x)^4(2a)^2 + C_6^3(3x)^3(2a)^3 + C_6^4(3x)^2(2a)^4 + C_6^5(3x)^1(2a)^5 + C_6^6(3x)^0(2a)^6$.
Выполняем вычисления для каждого члена разложения:
$= 1 \cdot (3^6 x^6) + 6 \cdot (3^5 x^5)(2a) + 15 \cdot (3^4 x^4)(2^2 a^2) + 20 \cdot (3^3 x^3)(2^3 a^3) + 15 \cdot (3^2 x^2)(2^4 a^4) + 6 \cdot (3x)(2^5 a^5) + 1 \cdot (2^6 a^6)$
$= 1 \cdot 729x^6 + 6 \cdot 243x^5 \cdot 2a + 15 \cdot 81x^4 \cdot 4a^2 + 20 \cdot 27x^3 \cdot 8a^3 + 15 \cdot 9x^2 \cdot 16a^4 + 18x \cdot 32a^5 + 64a^6$
$= 729x^6 + 2916x^5a + 4860x^4a^2 + 4320x^3a^3 + 2160x^2a^4 + 576xa^5 + 64a^6$.
Ответ: $729x^6 + 2916x^5a + 4860x^4a^2 + 4320x^3a^3 + 2160x^2a^4 + 576xa^5 + 64a^6$.

3) $(3x-a)^5$
В данном случае $u=3x$, $v=-a$ и $n=5$.
Биномиальные коэффициенты для $n=5$ те же: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
Так как второй член бинома отрицательный, знаки в разложении будут чередоваться.
$(3x-a)^5 = C_5^0(3x)^5(-a)^0 + C_5^1(3x)^4(-a)^1 + C_5^2(3x)^3(-a)^2 + C_5^3(3x)^2(-a)^3 + C_5^4(3x)^1(-a)^4 + C_5^5(3x)^0(-a)^5$.
Вычисляем каждый член:
$= 1 \cdot (3^5 x^5) - 5 \cdot (3^4 x^4)a + 10 \cdot (3^3 x^3)a^2 - 10 \cdot (3^2 x^2)a^3 + 5 \cdot (3x)a^4 - 1 \cdot a^5$
$= 1 \cdot 243x^5 - 5 \cdot 81x^4a + 10 \cdot 27x^3a^2 - 10 \cdot 9x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$
$= 243x^5 - 405x^4a + 270x^3a^2 - 90x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$.
Ответ: $243x^5 - 405x^4a + 270x^3a^2 - 90x^2a^3 + 15xa^4 - a^5$.

29.31. Решите уравнение:

1) $A_x^2 = 7x;$

2) $A_x^2 = 5x + 24.$

1) $A_x^2 = 7x$

Число размещений из $x$ элементов по 2, обозначаемое $A_x^2$, вычисляется по формуле:
$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$.
По определению числа размещений, $x$ должно быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 2$.

Подставим определение $A_x^2$ в исходное уравнение:
$x(x-1) = 7x$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x = 7x$
$x^2 - x - 7x = 0$
$x^2 - 8x = 0$
$x(x-8) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни области определения ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условиям, так как $8$ — натуральное число и $8 \ge 2$.

Ответ: 8

2) $A_x^2 = 5x + 24$

Аналогично первому пункту, используем формулу для числа размещений $A_x^2 = x(x-1)$ и учитываем область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Подставим формулу в уравнение:
$x(x-1) = 5x + 24$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - x = 5x + 24$
$x^2 - x - 5x - 24 = 0$
$x^2 - 6x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 36 + 96 = 132$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{132}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 33}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{33}}{2} = 3 \pm \sqrt{33}$.
Получаем два корня: $x_1 = 3 - \sqrt{33}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{33}$.

Проверим корни на соответствие области определения.
Приблизительное значение $\sqrt{33}$ составляет $5.74$.
$x_1 = 3 - \sqrt{33} \approx 3 - 5.74 = -2.74$. Это отрицательное число, оно не является натуральным, поэтому корень не подходит.
$x_2 = 3 + \sqrt{33} \approx 3 + 5.74 = 8.74$. Это число не является целым (и, следовательно, натуральным), поэтому данный корень также не подходит.

Поскольку ни один из корней не удовлетворяет условию, что $x$ должно быть натуральным числом, то исходное уравнение не имеет решений в заданной области определения.

Ответ: решений нет.

29.32. На диаграмме (рис. 78) показана продажа продукции фирмы по месяцам 2018 г.

Продано продукции в течение года
(тыс. тенге)

Январь: 1200

Февраль: 1100

Март: 1300

Апрель: 1300

Май: 1500

Июнь: 1500

Июль: 1400

Август: 1400

Сентябрь: 1300

Октябрь: 1300

Ноябрь: 1200

Декабрь: 1200

Рис. 78

На сколько процентов увеличилась выручка от продаж продукции в III квартале по сравнению с продажами в I квартале 2018 г.?

Рис. 78

Для того чтобы ответить на вопрос, сперва найдем суммарную выручку за I и III кварталы 2018 года, используя данные с диаграммы.

Выручка за I квартал (январь, февраль, март) составляет:

$1200 + 1100 + 1300 = 3600$ тыс. тенге.

Выручка за III квартал (июль, август, сентябрь) составляет:

$1500 + 1400 + 1400 = 4300$ тыс. тенге.

Теперь найдем, на сколько процентов выручка в III квартале больше, чем в I квартале. Для этого сначала вычислим абсолютное увеличение выручки:

$4300 \text{ тыс. тенге} - 3600 \text{ тыс. тенге} = 700 \text{ тыс. тенге}.

Далее, чтобы найти процентное увеличение, разделим абсолютное увеличение на значение выручки в I квартале (которое мы принимаем за 100%) и умножим на 100%.

$\frac{700}{3600} \times 100\% = \frac{7}{36} \times 100\% \approx 0.19444... \times 100\%$.

Результат можно представить в виде точной смешанной дроби: $19\frac{4}{9}\%$ или, округлив до сотых, в виде десятичной дроби $19.44\%$.

Ответ: выручка от продаж продукции в III квартале увеличилась на $19\frac{4}{9}\%$ (приблизительно на 19.44%) по сравнению с продажами в I квартале.

29.33. Найдите число способов покупки 1 кг груш и 1 кг мандаринов, если в магазине имеется 5 сортов груш и 4 сорта мандаринов.

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило умножения. Покупка состоит из двух независимых событий: выбора сорта груш и выбора сорта мандаринов.

1. Выбор 1 кг груш. По условию, в магазине имеется 5 сортов груш. Следовательно, существует 5 различных способов выбрать груши.

2. Выбор 1 кг мандаринов. В магазине имеется 4 сорта мандаринов. Следовательно, существует 4 различных способа выбрать мандарины.

Поскольку выбор сорта груш не зависит от выбора сорта мандаринов, общее число способов совершить покупку равно произведению числа способов для каждого выбора. С каждым из 5 сортов груш можно купить любой из 4 сортов мандаринов.

Таким образом, общее число способов покупки равно: $5 \cdot 4 = 20$

Ответ: 20.

29.34. В двух ящиках было 120 яблок. Три яблока переложили из первого ящика во второй. В результате количество яблок во втором ящике стало в два раза больше, чем в первом. Сколько яблок было в первом ящике первоначально?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнения на основе условий.

Пусть $x$ — это количество яблок, которое было в первом ящике первоначально.
Поскольку всего в двух ящиках было 120 яблок, то во втором ящике первоначально было $120 - x$ яблок.

Когда из первого ящика переложили 3 яблока во второй, то:

• в первом ящике стало $x - 3$ яблок;
• во втором ящике стало $(120 - x) + 3$ яблок, то есть $123 - x$ яблок.

По условию, после этого количество яблок во втором ящике стало в два раза больше, чем в первом. Составим уравнение:

$123 - x = 2 \cdot (x - 3)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$123 - x = 2x - 6$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую, чтобы сгруппировать их:

$123 + 6 = 2x + x$

Упростим обе части:

$129 = 3x$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{129}{3}$

$x = 43$

Таким образом, мы нашли, что первоначально в первом ящике было 43 яблока.

Проверка:
Первоначально в первом ящике было 43 яблока, а во втором $120 - 43 = 77$ яблок.
После перемещения 3 яблок в первом ящике осталось $43 - 3 = 40$ яблок.
Во втором ящике стало $77 + 3 = 80$ яблок.
Сравниваем количество яблок: $80$ действительно в два раза больше, чем $40$ ($80 = 2 \times 40$).
Решение верное.

Ответ: в первом ящике первоначально было 43 яблока.