Вопросы, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

2. Что означает слово бином, символ $Σ$?

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

4. Сколько слагаемых в биномах $(a + b)^4$ и $(a + b)^5$?

5. Запишите формулы для вычисления: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

6. Назовите средние члены биномов $(a - b)^4$ и $(a + b)^5$.

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, используемая для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, то есть выражения вида $(a+b)^n$.

Основные сферы применения:

- Алгебра: для возведения двучленов в степень. Это основное и наиболее прямое применение формулы. Например, для быстрого раскрытия скобок в выражениях $(x+y)^7$ или $(2x-3)^5$.

- Комбинаторика: биномиальные коэффициенты $C_n^k$, используемые в формуле, представляют собой число сочетаний из $n$ по $k$. Бином Ньютона используется для доказательства различных комбинаторных тождеств.

- Теория вероятностей: формула лежит в основе биномиального распределения, которое описывает количество успехов в серии из $n$ независимых испытаний.

- Математический анализ: обобщение формулы бинома Ньютона используется для разложения функций в степенные ряды (ряды Тейлора), например, функции $(1+x)^\alpha$, где $\alpha$ — любое действительное число.

- Теория чисел: используется в доказательствах различных теорем и свойств, связанных с делимостью.

Ответ: Бином Ньютона используется для возведения двучленов в степень в алгебре, в комбинаторике для вычисления сочетаний и доказательства тождеств, в теории вероятностей для биномиального распределения, а также в математическом анализе и теории чисел.

2. Что означает слово бином, символ Σ?

Бином (от латинского bi — «дважды» и греческого nomos — «часть, член») — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух одночленов (членов). Например, $a+b$ или $3x-y^2$. Формула бинома Ньютона как раз и предназначена для работы с такими выражениями, возводимыми в степень.

Символ Σ (сигма) — это заглавная буква греческого алфавита, которая в математике используется как знак суммирования. Он указывает на необходимость сложить последовательность членов. Общий вид записи: $\sum_{k=m}^{n} a_k$, что означает сумму членов $a_k$, где индекс $k$ пробегает все целые значения от $m$ до $n$ включительно. То есть, $\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \dots + a_n$. В контексте бинома Ньютона, формула записывается как $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$.

Ответ: Бином — это двучлен, то есть алгебраическая сумма двух одночленов. Символ Σ (сигма) — это математический знак, обозначающий операцию суммирования последовательности членов.

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты, которые стоят при степенях переменных в формуле разложения бинома Ньютона. Они обозначаются как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и читаются «число сочетаний из $n$ по $k$».

Вычисляются биномиальные коэффициенты по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению $0! = 1$.

С комбинаторной точки зрения, биномиальный коэффициент $C_n^k$ равен числу способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, без учета порядка выбора.

Эти коэффициенты можно также найти с помощью треугольника Паскаля, где каждый элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним.

Ответ: Биномиальные коэффициенты — это числовые множители в разложении степени бинома, которые вычисляются по формуле сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из $n$.

4. Сколько слагаемых в биномах $(a + b)^4$ и $(a + b)^5$?

Дано:

Бином в степени 4: $(a+b)^4$.

Бином в степени 5: $(a+b)^5$.

Найти:

Количество слагаемых в разложении каждого бинома.

Решение:

Общая формула бинома Ньютона для $(a+b)^n$ имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Суммирование происходит по индексу $k$ от 0 до $n$. Количество значений, которые принимает индекс $k$, равно $n - 0 + 1 = n+1$. Каждому значению $k$ соответствует одно слагаемое в разложении. Таким образом, число слагаемых в разложении бинома $(a+b)^n$ всегда равно $n+1$.

1) Для бинома $(a+b)^4$, имеем $n=4$. Число слагаемых равно $n+1 = 4+1 = 5$.

2) Для бинома $(a+b)^5$, имеем $n=5$. Число слагаемых равно $n+1 = 5+1 = 6$.

Ответ: В разложении бинома $(a + b)^4$ содержится 5 слагаемых, а в разложении бинома $(a + b)^5$ — 6 слагаемых.

5. Запишите формулы для вычисления: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

Дано:

Выражения: $(a + b)^4$; $(a - b)^4$; $(a + b)^5$; $(a - b)^5$.

Найти:

Записать формулы разложения данных выражений.

Решение:

Используем формулу бинома Ньютона: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k}y^k$. Биномиальные коэффициенты $C_n^k$ можно найти по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ или из треугольника Паскаля.

Для $n=4$ коэффициенты: $C_4^0=1, C_4^1=4, C_4^2=6, C_4^3=4, C_4^4=1$.

Для $n=5$ коэффициенты: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.

1) Для $(a+b)^4$:

$(a+b)^4 = C_4^0a^4b^0 + C_4^1a^3b^1 + C_4^2a^2b^2 + C_4^3a^1b^3 + C_4^4a^0b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

2) Для $(a-b)^4$ (представим как $(a+(-b))^4$):

$(a-b)^4 = a^4 + 4a^3(-b) + 6a^2(-b)^2 + 4a(-b)^3 + (-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$. Знаки чередуются.

3) Для $(a+b)^5$:

$(a+b)^5 = C_5^0a^5 + C_5^1a^4b + C_5^2a^3b^2 + C_5^3a^2b^3 + C_5^4ab^4 + C_5^5b^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.

4) Для $(a-b)^5$ (представим как $(a+(-b))^5$):

$(a-b)^5 = a^5 + 5a^4(-b) + 10a^3(-b)^2 + 10a^2(-b)^3 + 5a(-b)^4 + (-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$. Знаки чередуются.

Ответ:

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

6. Назовите средние члены биномов $(a - b)^4$ и $(a + b)^5$.

Дано:

Бином $(a - b)^4$.

Бином $(a + b)^5$.

Найти:

Средний(е) член(ы) разложения каждого бинома.

Решение:

Общий член разложения бинома $(x+y)^n$ имеет вид $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$, где $k$ изменяется от 0 до $n$. Всего в разложении $n+1$ член.

1) Для бинома $(a-b)^4$ имеем $n=4$. Количество членов равно $n+1=5$. Так как число членов нечетное, средний член будет один. Его порядковый номер $(n/2) + 1 = (4/2) + 1 = 3$. Это член $T_3$. Для нахождения $T_3$ используем $k=2$.

Находим этот член для $(a+(-b))^4$:

$T_3 = C_4^2 a^{4-2} (-b)^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} a^2 b^2 = \frac{24}{2 \cdot 2} a^2 b^2 = 6a^2b^2$.

2) Для бинома $(a+b)^5$ имеем $n=5$. Количество членов равно $n+1=6$. Так как число членов четное, средних членов будет два. Их порядковые номера $(n+1)/2 = (5+1)/2 = 3$ и $(n+1)/2 + 1 = 4$. Это члены $T_3$ и $T_4$.

Найдем $T_3$ (при $k=2$) для $(a+b)^5$:

$T_3 = C_5^2 a^{5-2} b^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} a^3 b^2 = \frac{120}{2 \cdot 6} a^3 b^2 = 10a^3b^2$.

Найдем $T_4$ (при $k=3$) для $(a+b)^5$:

$T_4 = C_5^3 a^{5-3} b^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} a^2 b^3 = \frac{120}{6 \cdot 2} a^2 b^3 = 10a^2b^3$.

Ответ: Средний член бинома $(a - b)^4$ — это $6a^2b^2$. Средние члены бинома $(a + b)^5$ — это $10a^3b^2$ и $10a^2b^3$.