Номер 11.4, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.4. Докажите тождество:

1) $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} C_{n}^{k}=0$;

2) $\sum_{k=0}^{n} k C_{n}^{k}=n \cdot 2^{n-1}$;

3) $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} k C_{n}^{k}=0.$

1) Докажем тождество $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
Подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=-1$:
$(1 + (-1))^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k$
Левая часть равенства: $(1-1)^n = 0^n$.
Правая часть равенства: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k$.
Таким образом, мы получаем: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0^n$.
Это равенство справедливо для всех натуральных $n \ge 1$, так как $0^n = 0$ для $n \ge 1$.
При $n=0$ сумма равна $\sum_{k=0}^{0} (-1)^k C_0^k = (-1)^0 C_0^0 = 1 \cdot 1 = 1$, что не равно 0. Тождество обычно рассматривается для $n \ge 1$.
Итак, для $n \ge 1$ тождество доказано.
Ответ: Тождество доказывается с помощью формулы бинома Ньютона при подстановке $a=1$ и $b=-1$, что приводит к выражению $(1-1)^n = 0$.

2) Докажем тождество $\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.
Рассмотрим два способа доказательства.
Способ 1: Использование производной.
Запишем разложение бинома Ньютона для $(1+x)^n$:
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Продифференцируем обе части этого равенства по переменной $x$:
$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx}(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k)$
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot k x^{k-1}$.
Заметим, что при $k=0$ слагаемое в сумме равно нулю, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Теперь подставим в это равенство значение $x=1$:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k (1)^{k-1}$
$n \cdot 2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k$.
Поскольку при $k=0$ слагаемое $kC_n^k = 0 \cdot C_n^0 = 0$, мы можем добавить его в сумму, не изменяя её значения, и начать суммирование с $k=0$:
$\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.
Способ 2: Использование комбинаторного тождества.
Используем тождество $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ для $k \ge 1$. Докажем его:
$kC_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = k \cdot \frac{n!}{k(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.
$nC_{n-1}^{k-1} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.
Тождество $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ доказано.
Теперь преобразуем исходную сумму (заметим, что член для $k=0$ равен нулю):
$\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} nC_{n-1}^{k-1}$.
Вынесем $n$ за знак суммы:
$n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$.
Сделаем замену индекса суммирования: $j = k-1$. Тогда при $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$.
$n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$.
Сумма $\sum_{j=0}^{m} C_m^j$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $m$, и она равна $2^m$. В нашем случае $m=n-1$, поэтому:
$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}$.
Подставляя это значение, получаем итоговый результат: $n \cdot 2^{n-1}$.
Ответ: Тождество доказывается либо дифференцированием бинома Ньютона $(1+x)^n$ с последующей подстановкой $x=1$, либо с помощью комбинаторного тождества $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$.

3) Докажем тождество $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = 0$.
Как и в пункте 2), воспользуемся тождеством $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$, которое справедливо для $k \ge 1$.
Преобразуем исходную сумму:
$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} nC_{n-1}^{k-1}$.
Вынесем константу $n$ за знак суммы:
$n \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} C_{n-1}^{k-1}$.
Сделаем замену индекса суммирования: $j = k-1$. При $k=1$ будет $j=0$, при $k=n$ будет $j=n-1$.
$n \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.
Из тождества, доказанного в пункте 1), мы знаем, что знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов $\sum_{j=0}^{m} (-1)^j C_m^j = 0$ при $m \ge 1$.
В нашем случае $m = n-1$. Таким образом, сумма равна нулю, если $n-1 \ge 1$, то есть при $n \ge 2$.
При $n \ge 2$ выражение принимает вид: $n \cdot 0 = 0$.
Проверим случай $n=1$:
$\sum_{k=1}^{1} (-1)^{k-1} kC_1^k = (-1)^{1-1} \cdot 1 \cdot C_1^1 = (-1)^0 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Результат равен 1, а не 0. Следовательно, данное тождество справедливо только для $n \ge 2$.
Ответ: Тождество доказывается с помощью свойства $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ и результата из пункта 1), и оно справедливо для всех натуральных $n \ge 2$.