Номер 11.5, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.5. Найдите $n$ в разложении бинома $(3+\frac{1}{\sqrt{2}})^n$, если отношение четвертого слагаемого разложения к третьему равно $3\sqrt{2}$.

11.5. Для нахождения n воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент, а $k$ - номер слагаемого, начиная с 0.

В нашем случае $a=3$ и $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Третье слагаемое разложения ($T_3$) соответствует $k=2$. Запишем его:

$T_3 = T_{2+1} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2!} \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4} \cdot 3^{n-2}$.

Четвертое слагаемое разложения ($T_4$) соответствует $k=3$. Запишем его:

$T_4 = T_{3+1} = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{n(n-1)(n-2)}{12\sqrt{2}} \cdot 3^{n-3}$.

По условию задачи, отношение четвертого слагаемого к третьему равно $3\sqrt{2}$:

$\frac{T_4}{T_3} = 3\sqrt{2}$.

Подставим полученные выражения для $T_4$ и $T_3$ в это отношение:

$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{12\sqrt{2}} \cdot 3^{n-3}}{\frac{n(n-1)}{4} \cdot 3^{n-2}} = 3\sqrt{2}$.

Упростим левую часть уравнения. Сократим общие множители $n(n-1)$ (поскольку для существования 4-го члена $n \ge 3$), а также степени числа 3 и числовые коэффициенты:

$\frac{n-2}{1} \cdot \frac{4}{12\sqrt{2}} \cdot \frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} = 3\sqrt{2}$.

$(n-2) \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot 3^{-1} = 3\sqrt{2}$.

$(n-2) \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3} = 3\sqrt{2}$.

$\frac{n-2}{9\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$n-2 = 3\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$.

$n-2 = 27 \cdot (\sqrt{2})^2$.

$n-2 = 27 \cdot 2$.

$n-2 = 54$.

$n = 54 + 2$.

$n = 56$.

Ответ: $n=56$.