Номер 10.17, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.17. Решите уравнение:

1) $A_{x+1}^2 = 20;$

2) $A_{x+2}^2 = 26 + 8x;$

3) $C_{x+1}^2 = 45;$

4) $C_{x+2}^2 = 33 + 1,5x.$

1) $A_{x+1}^2 = 20$

По определению числа размещений, $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$. В данном уравнении $n = x+1$ и $k=2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что $n$ и $k$ — целые числа, и $n \ge k \ge 0$. Следовательно, $x+1 \ge 2$, что означает $x \ge 1$. Также $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения, используя формулу для размещений:

$A_{x+1}^2 = (x+1) \cdot ((x+1)-1) = (x+1)x = x^2+x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:

$x^2 + x = 20$

$x^2 + x - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 1$.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < 1$. Этот корень является посторонним.

Ответ: 4.

2) $A_{x+2}^2 = 26 + 8x$

Используем ту же формулу для числа размещений $A_n^k$ с $n = x+2$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+2 \ge 2$, что означает $x \ge 0$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения:

$A_{x+2}^2 = (x+2) \cdot ((x+2)-1) = (x+2)(x+1) = x^2 + 3x + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 26 + 8x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 3x - 8x + 2 - 26 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение $-24$. Корнями являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge 0$).

$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$).

Ответ: 8.

3) $C_{x+1}^2 = 45$

По определению числа сочетаний, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$. В данном уравнении $n = x+1$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть уравнения:

$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1) \cdot ((x+1)-1)}{2!} = \frac{(x+1)x}{2}$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{x(x+1)}{2} = 45$

$x(x+1) = 90$

$x^2 + x - 90 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-90$. Корнями являются $x_1 = 9$ и $x_2 = -10$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

$x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 \ge 1$).

$x_2 = -10$ не удовлетворяет условию ($-10 < 1$).

Ответ: 9.

4) $C_{x+2}^2 = 33 + 1,5x$

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k$ с $n = x+2$ и $k=2$.

ОДЗ: $x+2 \ge 2$, то есть $x \ge 0$. $x$ должен быть целым числом.

Распишем левую часть:

$C_{x+2}^2 = \frac{(x+2)(x+2-1)}{2} = \frac{(x+2)(x+1)}{2}$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{(x+2)(x+1)}{2} = 33 + 1.5x$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$(x+2)(x+1) = 2(33 + 1.5x)$

$x^2 + 3x + 2 = 66 + 3x$

Вычтем $3x$ из обеих частей:

$x^2 + 2 = 66$

$x^2 = 64$

Отсюда $x = \pm\sqrt{64}$, то есть $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 \ge 0$).

$x_2 = -8$ не удовлетворяет условию ($-8 < 0$).

Ответ: 8.