Номер 11.2, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.2. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении бинома Ньютона:

1) $(x+2)^{10}$, $n=3$;

2) $(1-2x)^7$, $n=4$;

3) $(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^8$, $n=-4$.

Для нахождения коэффициента при $x^n$ в разложении бинома Ньютона $(a+b)^m$ используется формула общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_m^k a^{m-k} b^k$,

где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ - биномиальный коэффициент, а $k$ - номер члена, начиная с $k=0$.

1) $(x + 2)^{10}$, $n = 3$

В данном случае $a = x$, $b = 2$, $m = 10$. Мы ищем коэффициент при $x^3$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(x+2)^{10}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} 2^k$.

Степень переменной $x$ в этом члене равна $10-k$. Согласно условию, нам нужно найти член со степенью $x^3$, поэтому приравниваем степени:

$10 - k = 3$

Решая уравнение, получаем $k = 7$.

Теперь находим коэффициент для этого члена, подставив $k=7$ в выражение для коэффициента $C_{10}^k 2^k$:

Коэффициент $= C_{10}^7 \cdot 2^7$.

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычисляем степень двойки:

$2^7 = 128$.

Перемножаем полученные значения:

$120 \cdot 128 = 15360$.

Ответ: 15360.

2) $(1 - 2x)^7$, $n = 4$

Здесь $a = 1$, $b = -2x$, $m = 7$. Мы ищем коэффициент при $x^4$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(1-2x)^7$ равен:

$T_{k+1} = C_7^k (1)^{7-k} (-2x)^k = C_7^k (-2)^k x^k$.

Степень переменной $x$ равна $k$. По условию $n=4$, следовательно:

$k = 4$.

Находим искомый коэффициент, подставив $k=4$:

Коэффициент $= C_7^4 \cdot (-2)^4$.

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вычисляем степень:

$(-2)^4 = 16$.

Перемножаем значения:

$35 \cdot 16 = 560$.

Ответ: 560.

3) $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$, $n = -4$

В этом случае $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = -\frac{2}{x} = -2x^{-1}$, $m = 8$. Ищем коэффициент при $x^{-4}$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_8^k (x^{1/2})^{8-k} (-2x^{-1})^k$.

Упростим выражение, чтобы определить степень $x$:

$T_{k+1} = C_8^k x^{\frac{1}{2}(8-k)} (-2)^k x^{-k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-k}{2} - k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-3k}{2}}$.

Степень переменной $x$ равна $\frac{8-3k}{2}$. По условию $n=-4$, значит:

$\frac{8-3k}{2} = -4$

Решаем уравнение для $k$:

$8 - 3k = -8$

$16 = 3k$

$k = \frac{16}{3}$

Значение $k$ в формуле бинома Ньютона должно быть целым неотрицательным числом в диапазоне от $0$ до $m$ (в нашем случае от 0 до 8). Поскольку $k = \frac{16}{3}$ не является целым числом, это означает, что в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^{-4}$.

Следовательно, коэффициент при $x^{-4}$ равен нулю.

Ответ: 0.