Номер 11.7, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.7. Найдите наибольший коэффициент в разложении $ (x + y)^n $, если значение суммы биномиальных коэффициентов в разложении равно:

1) 1024;

2) 512.

Разложение бинома $(x+y)^n$ по формуле бинома Ньютона имеет вид:

$(x+y)^n = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + C_n^2 x^{n-2} y^2 + \dots + C_n^n x^0 y^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении находится, если положить $x=1$ и $y=1$:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = (1+1)^n = 2^n$.

Наибольший коэффициент в разложении соответствует среднему члену (или двум средним членам). Если $n$ — четное, то наибольший коэффициент один: $C_n^{n/2}$. Если $n$ — нечетное, то наибольших коэффициентов два, и они равны: $C_n^{(n-1)/2} = C_n^{(n+1)/2}$.

1)

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 1024. Найдем показатель степени $n$:

$2^n = 1024$

$2^n = 2^{10}$

$n = 10$

Поскольку $n=10$ — четное число, наибольший коэффициент в разложении будет $C_{10}^{10/2} = C_{10}^5$. Вычислим его:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$.

Ответ: 252

2)

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 512. Найдем показатель степени $n$:

$2^n = 512$

$2^n = 2^9$

$n = 9$

Поскольку $n=9$ — нечетное число, в разложении будет два равных наибольших коэффициента: $C_9^{(9-1)/2} = C_9^4$ и $C_9^{(9+1)/2} = C_9^5$. Вычислим значение одного из них, например, $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126$.

Ответ: 126