Номер 11.14, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.14.1) Упростите выражение $\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \sqrt{x} - 2,2$ и найдите его значение при $x = 0,04$.

2) Упростите выражение $\frac{3}{\sqrt{y} + 1} - \frac{3}{\sqrt{y} - 1} + \sqrt{y} + 1,8$ и найдите его значение при $y = 1,44$.

1) Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $x \ne 9$.
Исходное выражение: $\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \sqrt{x} - 2,2$.
Приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $3 - \sqrt{x}$ и $\sqrt{x} + 3$ равен $(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем:$(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x}) = 3^2 - (\sqrt{x})^2 = 9 - x$.
Сложим дроби:
$\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{3 + \sqrt{x}} = \frac{2(3 + \sqrt{x}) + 2(3 - \sqrt{x})}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{6 + 2\sqrt{x} + 6 - 2\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{12}{9 - x}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{12}{9 - x} + \sqrt{x} - 2,2$.
Это и есть упрощенное выражение.

Теперь найдем значение этого выражения при $x = 0,04$.
Сначала вычислим $\sqrt{x}$: $\sqrt{0,04} = 0,2$.
Подставим значения $x = 0,04$ и $\sqrt{x} = 0,2$ в упрощенное выражение:
$\frac{12}{9 - 0,04} + 0,2 - 2,2 = \frac{12}{8,96} - 2$.
Выполним вычисления:
$\frac{12}{8,96} = \frac{12 \cdot 100}{896} = \frac{1200}{896}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
$\frac{1200 \div 16}{896 \div 16} = \frac{75}{56}$.
Итоговое значение: $\frac{75}{56} - 2 = \frac{75}{56} - \frac{112}{56} = -\frac{37}{56}$.
Ответ: $-\frac{37}{56}$.

2) Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений: $y \ge 0$ и $y \ne 1$.
Исходное выражение: $\frac{3}{\sqrt{y} + 1} - \frac{3}{\sqrt{y} - 1} + \sqrt{y} + 1,8$.
Приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\sqrt{y} + 1$ и $\sqrt{y} - 1$ равен $(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1)$. Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1) = (\sqrt{y})^2 - 1^2 = y - 1$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{3(\sqrt{y} - 1) - 3(\sqrt{y} + 1)}{(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1)} = \frac{3\sqrt{y} - 3 - 3\sqrt{y} - 3}{y - 1} = \frac{-6}{y - 1}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{-6}{y - 1} + \sqrt{y} + 1,8$.
Это и есть упрощенное выражение.

Теперь найдем значение этого выражения при $y = 1,44$.
Сначала вычислим $\sqrt{y}$: $\sqrt{1,44} = 1,2$.
Подставим значения $y = 1,44$ и $\sqrt{y} = 1,2$ в упрощенное выражение:
$\frac{-6}{1,44 - 1} + 1,2 + 1,8 = \frac{-6}{0,44} + 3$.
Выполним вычисления:
$\frac{-6}{0,44} = \frac{-6 \cdot 100}{44} = \frac{-600}{44}$.
Сократим дробь на 4:
$\frac{-600 \div 4}{44 \div 4} = \frac{-150}{11}$.
Итоговое значение: $-\frac{150}{11} + 3 = -\frac{150}{11} + \frac{33}{11} = -\frac{117}{11}$.
Ответ: $-\frac{117}{11}$.