Номер 4, страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Корень уравнения $A_x^3 = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$ равен:

A) 20;

B) 12;

C) 10;

D) 8.

Дано:

Уравнение $A_x^3 = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$.

Найти:

Корень уравнения $x$.

Решение:

В левой части уравнения стоит число размещений из $x$ элементов по 3, которое вычисляется по формуле:

$A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!} = x(x-1)...(x-k+1)$

Для $k=3$ получаем:

$A_x^3 = x(x-1)(x-2)$

По определению размещений, $x$ должно быть натуральным числом и должно выполняться условие $x \ge 3$.

Раскроем скобки в выражении для $A_x^3$:

$x(x-1)(x-2) = (x^2 - x)(x-2) = x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x = x^3 - 3x^2 + 2x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^3 - 3x^2 + 2x = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы упростить его. Вычтем $x^3$ из обеих частей:

$-3x^2 + 2x = -4x^2 + 8x + 16$

Перенесем члены с $x$ и свободные члены в левую часть:

$-3x^2 + 4x^2 + 2x - 8x - 16 = 0$

$x^2 - 6x - 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \ge 3$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $x$ не может быть отрицательным в данном контексте.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=8$.

Ответ: 8.