Страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Количество различных нечетных трехзначных чисел без повторений цифр, составленных из цифр 0, 2, 4, 7, 8, равно:

A) 16;

B) 10;

C) 9;

D) 8.

1. Для решения этой задачи найдем количество трехзначных нечетных чисел, которые можно составить из цифр {0, 2, 4, 7, 8} без их повторения. Мы будем использовать комбинаторное правило произведения, последовательно определяя количество вариантов для каждой позиции в числе: сотен, десятков и единиц.

Начнем с последней цифры (позиции единиц). По условию, число должно быть нечетным, следовательно, оно должно заканчиваться на нечетную цифру. В данном наборе {0, 2, 4, 7, 8} единственная нечетная цифра — это 7. Таким образом, для последней позиции есть только 1 вариант — цифра 7.

Далее рассмотрим первую цифру (позицию сотен). Так как число трехзначное, оно не может начинаться с 0. Также, по условию, цифры не повторяются, поэтому первая цифра не может быть 7 (она уже используется на последней позиции). Из набора {0, 2, 4, 7, 8} исключаем 0 и 7. Для первой позиции остаются цифры {2, 4, 8}. Следовательно, у нас есть 3 варианта для первой цифры.

Наконец, определим вторую цифру (позицию десятков). Из пяти исходных цифр мы уже использовали две: одну для первой позиции и одну для последней. Значит, для средней позиции осталось $5 - 2 = 3$ неиспользованные цифры. Например, если мы выбрали 2 для сотен и 7 для единиц, для десятков остаются {0, 4, 8}. В любом случае, для второй цифры будет 3 варианта.

Чтобы найти общее количество таких чисел, перемножим количество вариантов для каждой позиции:
Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц) = $3 \times 3 \times 1 = 9$.

Ответ: 9.

2. Если в классе 25 учащихся, из которых 13 девочек, то число различных способов назначения двух дежурных из числа мальчиков равно:

A) 80;

B) 66;

C) 90;

D) 120.

Сначала определим количество мальчиков в классе. Всего в классе 25 учащихся, из них 13 девочек. Следовательно, количество мальчиков составляет: $25 - 13 = 12$ мальчиков.
Далее необходимо найти количество способов выбрать двух дежурных из 12 мальчиков. Поскольку оба дежурных выполняют одинаковые функции, порядок их выбора не имеет значения. Это означает, что мы должны вычислить число сочетаний из 12 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В нашей задаче $n = 12$ (общее количество мальчиков) и $k = 2$ (количество дежурных, которых нужно выбрать).
Подставляем эти значения в формулу: $C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!}$
Расписываем факториалы для упрощения: $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{2 \cdot 1 \cdot 10!}$
Сокращаем $10!$ в числителе и знаменателе: $C_{12}^2 = \frac{12 \cdot 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$
Таким образом, существует 66 различных способов назначить двух дежурных из числа мальчиков.
Ответ: B) 66;

3. Одиннадцать баскетболистов команды строятся перед началом игры для приветствия. Первым становится капитан, остальные — случайным образом.

Тогда число способов построения команды равно:

A) $9!$;

B) $8!$;

C) $10!$;

D) $11!$.

В команде 11 баскетболистов, которых нужно выстроить в один ряд для приветствия. Порядок построения имеет значение.

Согласно условию, место первого игрока в строю строго определено — его всегда занимает капитан. Таким образом, для первой позиции в строю существует только 1 вариант.

Остаются $11 - 1 = 10$ баскетболистов, которых нужно расположить на оставшихся 10 местах. Задача сводится к нахождению количества способов, которыми можно упорядочить 10 различных игроков.

Это классическая задача комбинаторики на нахождение числа перестановок. Число перестановок из $n$ различных элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае нам нужно найти число перестановок для 10 игроков, то есть $n=10$. Количество способов расставить их на 10 местах равно:

$P_{10} = 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Поскольку позиция капитана зафиксирована (1 способ), а остальные 10 игроков могут быть расставлены $10!$ способами, общее число способов построения команды равно произведению этих возможностей: $1 \times 10! = 10!$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) 10!.

4. Корень уравнения $A_x^3 = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$ равен:

A) 20;

B) 12;

C) 10;

D) 8.

Дано:

Уравнение $A_x^3 = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$.

Найти:

Корень уравнения $x$.

Решение:

В левой части уравнения стоит число размещений из $x$ элементов по 3, которое вычисляется по формуле:

$A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!} = x(x-1)...(x-k+1)$

Для $k=3$ получаем:

$A_x^3 = x(x-1)(x-2)$

По определению размещений, $x$ должно быть натуральным числом и должно выполняться условие $x \ge 3$.

Раскроем скобки в выражении для $A_x^3$:

$x(x-1)(x-2) = (x^2 - x)(x-2) = x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x = x^3 - 3x^2 + 2x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^3 - 3x^2 + 2x = x^3 - 4x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы упростить его. Вычтем $x^3$ из обеих частей:

$-3x^2 + 2x = -4x^2 + 8x + 16$

Перенесем члены с $x$ и свободные члены в левую часть:

$-3x^2 + 4x^2 + 2x - 8x - 16 = 0$

$x^2 - 6x - 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \ge 3$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $x$ не может быть отрицательным в данном контексте.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=8$.

Ответ: 8.

5. На плоскости отметили точку. Из нее провели 5 лучей. Тогда число различных углов равно:

A) $C_5^2$;

B) $C_5^3$;

C) $3!$;

D) $5!$.

Для того чтобы образовался угол, необходимо два луча, выходящих из одной и той же точки (вершины). В условии задачи говорится, что из одной точки проведено 5 лучей. Следовательно, чтобы найти количество различных углов, нам нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 луча из 5 имеющихся.

Поскольку порядок выбора лучей не имеет значения (угол, образованный лучом 1 и лучом 2, это тот же самый угол, что и образованный лучом 2 и лучом 1), мы имеем дело с задачей на нахождение числа сочетаний.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее число элементов (лучей) $n = 5$, а количество элементов, которые мы выбираем для создания одного угла, $k = 2$.

Подставив эти значения в формулу, мы получим количество различных углов:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Таким образом, можно составить 10 различных углов. Теперь проанализируем предложенные варианты ответа.

A) $C_5^2$

Этот вариант представляет собой математическую запись для числа сочетаний из 5 по 2, что в точности соответствует логике решения задачи.

B) $C_5^3$

Этот вариант представляет число сочетаний из 5 по 3. Хотя $C_5^3 = C_5^2 = 10$, с точки зрения постановки задачи этот вариант неверен, так как для образования угла требуется выбрать 2 луча, а не 3.

C) $3!$

Это факториал числа 3, который равен $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Факториалы используются для подсчета числа перестановок, что не относится к данной задаче.

D) $5!$

Это факториал числа 5, который равен $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$. Это число способов упорядочить все 5 лучей, что также не является решением задачи.

Правильным ответом является тот, который корректно формулирует способ решения, а именно — нахождение числа сочетаний из 5 элементов по 2.

Ответ: A) $C_5^2$

6. Упростив выражение $\frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{2 - n}{(n + 1)!}$, получим:

A) $n$;

B) $2n$;

C) $\frac{n - 2}{n!}$;

D) $\frac{n}{(n - 1)!}$.

Для упрощения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$ \frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{2 - n}{(n + 1)!} $

Общим знаменателем для дробей является $(n + 2)!$, так как по определению факториала $(n + 2)! = (n + 2) \cdot (n + 1)!$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(n + 2)$:

$ \frac{2 - n}{(n + 1)!} = \frac{(2 - n)(n + 2)}{(n + 1)!(n + 2)} = \frac{4 - n^2}{(n + 2)!} $

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{n^3 - 4n}{(n + 2)!} - \frac{4 - n^2}{(n + 2)!} = \frac{(n^3 - 4n) - (4 - n^2)}{(n + 2)!} = \frac{n^3 - 4n - 4 + n^2}{(n + 2)!} = \frac{n^3 + n^2 - 4n - 4}{(n + 2)!} $

Разложим числитель полученной дроби на множители, используя метод группировки:

$ n^3 + n^2 - 4n - 4 = n^2(n + 1) - 4(n + 1) = (n^2 - 4)(n + 1) $

Применяя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, получаем:

$ (n - 2)(n + 2)(n + 1) $

Подставим разложенный числитель обратно в выражение и распишем знаменатель $(n + 2)!$ как $(n + 2)(n + 1)n!$:

$ \frac{(n - 2)(n + 2)(n + 1)}{(n + 2)(n + 1)n!} $

Сократим общие множители $(n + 2)$ и $(n + 1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(n - 2)\cancel{(n + 2)}\cancel{(n + 1)}}{\cancel{(n + 2)}\cancel{(n + 1)}n!} = \frac{n - 2}{n!} $

Полученный результат соответствует варианту C).

Ответ: C) $\frac{n - 2}{n!}$

7. Корнем уравнения $C_{x}^{x-2} = x^2 - x - 10$ является число:

A) 5;

B) 6;

C) 7;

D) 4.

Дано:

Уравнение $C_x^{x-2} = x^2 - x - 10$.

Найти:

Корень уравнения $x$.

Решение:

Вначале определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение $C_n^k$ (число сочетаний из $n$ по $k$) определено, если $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $n \ge k$.

В нашем случае $n = x$ и $k = x-2$. Следовательно, должны выполняться следующие условия:
1. $x$ — целое число.
2. $x \ge 0$.
3. $x-2$ — целое число (это следует из п.1).
4. $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
5. $x \ge x-2$, что упрощается до $0 \ge -2$. Это неравенство верно всегда.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должен быть целым числом и $x \ge 2$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$C_x^{x-2} = \frac{x!}{(x-2)!(x - (x-2))!} = \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)! \cdot 2} = \frac{x(x-1)}{2}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{x(x-1)}{2} = x^2 - x - 10$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$x(x-1) = 2(x^2 - x - 10)$

Раскроем скобки:

$x^2 - x = 2x^2 - 2x - 20$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - x^2 - 2x + x - 20 = 0$

$x^2 - x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x$ — целое число и $x \ge 2$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет ОДЗ, так как 5 — целое число и $5 \ge 2$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < 2$. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, единственным корнем уравнения является число 5.

Ответ: 5.

8. Коэффициент третьего члена в разложении бинома Ньютона

$(x-1)^{20}$ равен:

A) 20;

B) 120;

C) 190;

D) 210.

Для нахождения коэффициента третьего члена в разложении бинома Ньютона $(x-1)^{20}$ используется общая формула для $(k+1)$-го члена разложения $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае бином представлен как $(x-1)^{20}$, где $a = x$, $b = -1$ и степень $n = 20$.

Мы ищем третий член разложения, что соответствует значению $k+1 = 3$. Отсюда находим $k$:

$k = 3 - 1 = 2$.

Теперь подставим значения $n=20$ и $k=2$ в формулу для нахождения третьего члена $T_3$:

$T_3 = T_{2+1} = C_{20}^2 \cdot x^{20-2} \cdot (-1)^2$

Выполним вычисления:

$T_3 = C_{20}^2 \cdot x^{18} \cdot 1 = C_{20}^2 x^{18}$

Коэффициент этого члена равен биномиальному коэффициенту $C_{20}^2$. Вычислим его значение:

$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{2 \cdot 1 \cdot 18!}$

Сокращаем $18!$ в числителе и знаменателе:

$C_{20}^2 = \frac{20 \cdot 19}{2} = 10 \cdot 19 = 190$

Следовательно, коэффициент третьего члена в разложении бинома $(x-1)^{20}$ равен 190. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: 190.

9. Составляется букет из пяти красных и четырех белых гвоздик.

Найдите число способов составления букета, если имеются 8 красных и 8 белых гвоздик:

A) 3920;

B) 4920;

C) 3650;

D) 4200.

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторику, поскольку порядок цветов в букете не имеет значения. Мы должны найти число сочетаний для выбора красных и белых гвоздик по отдельности, а затем перемножить эти результаты, чтобы получить общее число способов составления букета.

1. Расчет количества способов выбрать красные гвоздики.

Нужно выбрать 5 красных гвоздик из 8 имеющихся. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 8 по 5. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Применим эту формулу для красных гвоздик, где $n=8$ и $k=5$:

$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ способов.

2. Расчет количества способов выбрать белые гвоздики.

Нужно выбрать 4 белые гвоздики из 8 имеющихся. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 8 по 4. Применим ту же формулу, где $n=8$ и $k=4$:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24} = 70$ способов.

3. Расчет общего количества способов составления букета.

Чтобы найти общее число способов составить букет, нужно перемножить количество способов выбора красных гвоздик на количество способов выбора белых гвоздик (согласно правилу произведения в комбинаторике), так как выбор цветов одного цвета не зависит от выбора цветов другого цвета.

Общее число способов = (Число способов выбрать красные гвоздики) $\times$ (Число способов выбрать белые гвоздики)

Общее число способов = $C_8^5 \times C_8^4 = 56 \times 70 = 3920$.

Таким образом, существует 3920 способов составить букет из пяти красных и четырех белых гвоздик, имея в наличии 8 красных и 8 белых гвоздик.

Ответ: 3920.

10. Коэффициент при $x^2$ в разложении бинома Ньютона $(2x + 1)^6$ равен:

A) 32; B) 40; C) 50; D) 60.

Для нахождения коэффициента при $x^2$ в разложении бинома $(2x + 1)^6$ используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ является биномиальным коэффициентом.

В данном выражении $(2x + 1)^6$ мы имеем: $a = 2x$, $b = 1$, и $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу бинома Ньютона:

$(2x + 1)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k (2x)^k (1)^{6-k}$

Общий член этого разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_6^k (2x)^k \cdot 1^{6-k} = C_6^k \cdot 2^k \cdot x^k$

Мы ищем коэффициент при $x^2$. Это означает, что степень переменной $x$ должна быть равна 2. Из формулы общего члена видно, что это происходит при $k=2$.

Теперь найдем коэффициент для члена с $k=2$. Коэффициент этого члена равен $C_6^2 \cdot 2^2$.

Вычислим значение биномиального коэффициента $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Далее вычислим $2^2$:

$2^2 = 4$

Наконец, перемножим эти два значения, чтобы найти искомый коэффициент:

Коэффициент при $x^2$ = $C_6^2 \cdot 2^2 = 15 \times 4 = 60$

Ответ: 60.