Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.1. Выпишите первые пять членов возрастающей числовой последовательности, состоящей из натуральных чисел, которые:

1) $n \equiv 2 \pmod{4}$;

2) $n \equiv 1 \pmod{7}$;

3) $n \equiv 3 \pmod{5}$;

4) $n \equiv 8 \pmod{9}$.

1)

Согласно условию, искомые натуральные числа $N$ при делении на 4 должны давать остаток 2. Это условие можно представить в виде формулы арифметической прогрессии $N = 4k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$), поскольку мы ищем натуральные числа. Чтобы найти первые пять членов этой возрастающей последовательности, необходимо подставить в формулу первые пять целых неотрицательных значений для $k$:
При $k=0$: $N = 4 \cdot 0 + 2 = 2$
При $k=1$: $N = 4 \cdot 1 + 2 = 6$
При $k=2$: $N = 4 \cdot 2 + 2 = 10$
При $k=3$: $N = 4 \cdot 3 + 2 = 14$
При $k=4$: $N = 4 \cdot 4 + 2 = 18$
Таким образом, первые пять членов искомой последовательности: 2, 6, 10, 14, 18.

Ответ: 2, 6, 10, 14, 18.

2)

Искомые натуральные числа $N$ при делении на 7 должны давать остаток 1. Это можно выразить формулой $N = 7k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$). Для нахождения первых пяти членов такой возрастающей последовательности, подставим в формулу первые пять значений для $k$:
При $k=0$: $N = 7 \cdot 0 + 1 = 1$
При $k=1$: $N = 7 \cdot 1 + 1 = 8$
При $k=2$: $N = 7 \cdot 2 + 1 = 15$
При $k=3$: $N = 7 \cdot 3 + 1 = 22$
При $k=4$: $N = 7 \cdot 4 + 1 = 29$
Таким образом, первые пять членов искомой последовательности: 1, 8, 15, 22, 29.

Ответ: 1, 8, 15, 22, 29.

3)

Искомые натуральные числа $N$ при делении на 5 должны давать остаток 3. Это можно выразить формулой $N = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$). Для нахождения первых пяти членов такой возрастающей последовательности, подставим в формулу первые пять значений для $k$:
При $k=0$: $N = 5 \cdot 0 + 3 = 3$
При $k=1$: $N = 5 \cdot 1 + 3 = 8$
При $k=2$: $N = 5 \cdot 2 + 3 = 13$
При $k=3$: $N = 5 \cdot 3 + 3 = 18$
При $k=4$: $N = 5 \cdot 4 + 3 = 23$
Таким образом, первые пять членов искомой последовательности: 3, 8, 13, 18, 23.

Ответ: 3, 8, 13, 18, 23.

4)

Искомые натуральные числа $N$ при делении на 9 должны давать остаток 8. Это можно выразить формулой $N = 9k + 8$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$). Для нахождения первых пяти членов такой возрастающей последовательности, подставим в формулу первые пять значений для $k$:
При $k=0$: $N = 9 \cdot 0 + 8 = 8$
При $k=1$: $N = 9 \cdot 1 + 8 = 17$
При $k=2$: $N = 9 \cdot 2 + 8 = 26$
При $k=3$: $N = 9 \cdot 3 + 8 = 35$
При $k=4$: $N = 9 \cdot 4 + 8 = 44$
Таким образом, первые пять членов искомой последовательности: 8, 17, 26, 35, 44.

Ответ: 8, 17, 26, 35, 44.

12.2. Найдите первые пять членов числовой последовательности $(a_n)$, если она задана с помощью формулы $n$-го члена:

1) $a_n = \frac{n}{\sqrt{n+1}}$;

2) $a_n = \frac{2n}{\sqrt{3n-1}}$;

3) $a_n = \frac{2n-1}{\sqrt{n+2}}$;

4) $a_n = \frac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$.

1) Чтобы найти первые пять членов последовательности $a_n = \frac{n}{\sqrt{n+1}}$, подставим значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$ в формулу.
При $n=1$: $a_1 = \frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2}{\sqrt{2+1}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3}{\sqrt{3+1}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{4}{\sqrt{4+1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{5}{\sqrt{5+1}} = \frac{5}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{5\sqrt{6}}{6}$.

2) Для последовательности $a_n = \frac{2n}{\sqrt{3n-1}}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3 \cdot 1 - 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3 \cdot 2 - 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{3 \cdot 3 - 1}} = \frac{6}{\sqrt{8}} = \frac{6}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{2 \cdot 4}{\sqrt{3 \cdot 4 - 1}} = \frac{8}{\sqrt{11}} = \frac{8\sqrt{11}}{11}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{2 \cdot 5}{\sqrt{3 \cdot 5 - 1}} = \frac{10}{\sqrt{14}} = \frac{10\sqrt{14}}{14} = \frac{5\sqrt{14}}{7}$.
Ответ: $\sqrt{2}, \frac{4\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{8\sqrt{11}}{11}, \frac{5\sqrt{14}}{7}$.

3) Для последовательности $a_n = \frac{2n-1}{\sqrt{n+2}}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{2 \cdot 1 - 1}{\sqrt{1+2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 1}{\sqrt{2+2}} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{2 \cdot 3 - 1}{\sqrt{3+2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{2 \cdot 4 - 1}{\sqrt{4+2}} = \frac{7}{\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{6}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{2 \cdot 5 - 1}{\sqrt{5+2}} = \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{2}, \sqrt{5}, \frac{7\sqrt{6}}{6}, \frac{9\sqrt{7}}{7}$.

4) Для последовательности $a_n = \frac{3n}{\sqrt{2n-1}+1}$ найдем первые пять членов:
При $n=1$: $a_1 = \frac{3 \cdot 1}{\sqrt{2 \cdot 1 - 1}+1} = \frac{3}{\sqrt{1}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{2 \cdot 2 - 1}+1} = \frac{6}{\sqrt{3}+1} = \frac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\sqrt{3}-1)$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{2 \cdot 3 - 1}+1} = \frac{9}{\sqrt{5}+1} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{9(\sqrt{5}-1)}{4}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{2 \cdot 4 - 1}+1} = \frac{12}{\sqrt{7}+1} = \frac{12(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{12(\sqrt{7}-1)}{7-1} = 2(\sqrt{7}-1)$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot 5 - 1}+1} = \frac{15}{\sqrt{9}+1} = \frac{15}{3+1} = \frac{15}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{2}, 3(\sqrt{3}-1), \frac{9(\sqrt{5}-1)}{4}, 2(\sqrt{7}-1), \frac{15}{4}$.

12.3. $(a_n)$ – последовательность квадратов натуральных чисел, взятых в порядке возрастания. Выпишите члены последовательности $a_5, a_9, a_{12}$.

По условию, последовательность $(a_n)$ — это последовательность квадратов натуральных чисел, взятых в порядке возрастания. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots, n, \dots$. Следовательно, n-й член последовательности $a_n$ равен квадрату натурального числа $n$. Общая формула для члена этой последовательности имеет вид: $a_n = n^2$.

Для того чтобы найти требуемые члены последовательности, необходимо подставить их порядковые номера ($5, 9, 12$) в эту формулу.

$a_5$

Для нахождения пятого члена последовательности $a_5$ подставим $n=5$ в общую формулу:

$a_5 = 5^2 = 25$

Ответ: 25.

$a_9$

Для нахождения девятого члена последовательности $a_9$ подставим $n=9$ в общую формулу:

$a_9 = 9^2 = 81$

Ответ: 81.

$a_{12}$

Для нахождения двенадцатого члена последовательности $a_{12}$ подставим $n=12$ в общую формулу:

$a_{12} = 12^2 = 144$

Ответ: 144.

12.4. Найдите формулу n-го (общего) члена последовательности $(a_n)$, если известны следующие ее первые члены:

1) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;

2) 9; 11; 13; 15; 17; 19;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{10}$;

4) 1; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{11}$;

5) 1; 2; 4; 8; 16; 32;

6) -1; 2; -4; 8; -16; 32;

7) 1; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{64}$; $\frac{1}{125}$; $\frac{1}{216}$;

8) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{7}$;

9) $\frac{3}{2}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{7}{6}$; $\frac{9}{8}$; $\frac{11}{10}$; $\frac{13}{12}$;

10) 2; 5; 8; 11; 14; 17.

1) Дана последовательность: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ...
Члены этой последовательности — четные натуральные числа, идущие по порядку. Каждый член последовательности можно получить, умножив его порядковый номер $n$ на 2.
$a_1 = 2 \cdot 1 = 2$
$a_2 = 2 \cdot 2 = 4$
$a_3 = 2 \cdot 3 = 6$
...
Данная последовательность является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1=2$, а разность $d = 4 - 2 = 2$.
Применим формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.
Ответ: $a_n = 2n$

2) Дана последовательность: 9; 11; 13; 15; 17; 19; ...
Это арифметическая прогрессия, так как разность между соседними членами постоянна.
Первый член $a_1 = 9$.
Разность прогрессии $d = 11 - 9 = 2$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 9 + (n-1) \cdot 2 = 9 + 2n - 2 = 2n + 7$.
Проверим:
$a_1 = 2(1) + 7 = 9$
$a_2 = 2(2) + 7 = 11$
$a_3 = 2(3) + 7 = 13$
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2n + 7$

3) Дана последовательность: $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8}; \frac{1}{10}; ...$
Числитель каждого члена последовательности равен 1.
Знаменатели образуют последовательность: 2; 4; 6; 8; 10; ... — это последовательность четных чисел, формула $n$-го члена которой, как мы нашли в пункте 1, равна $2n$.
Следовательно, формула для данной последовательности будет иметь вид:
$a_n = \frac{1}{2n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n}$

4) Дана последовательность: $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; \frac{1}{9}; \frac{1}{11}; ...$
Представим первый член как $\frac{1}{1}$.
Числитель каждого члена последовательности равен 1.
Знаменатели образуют последовательность: 1; 3; 5; 7; 9; 11; ... — это последовательность нечетных чисел.
Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 1$ и разностью $d = 2$.
Формула для $n$-го члена последовательности знаменателей: $d_n = d_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.
Таким образом, формула для исходной последовательности:
$a_n = \frac{1}{2n-1}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{2n-1}$

5) Дана последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; ...
Это геометрическая прогрессия, так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно.
Первый член $a_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{1} = 2$.
Применим формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$:
$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$.
Также можно заметить, что члены последовательности — это степени двойки: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, ...$
Показатель степени на единицу меньше номера члена, т.е. $n-1$.
Ответ: $a_n = 2^{n-1}$

6) Дана последовательность: -1; 2; -4; 8; -16; 32; ...
Знаки членов последовательности чередуются, начиная с минуса. Модули членов образуют последовательность 1; 2; 4; 8; 16; 32; ..., формула которой $2^{n-1}$ (из пункта 5).
Чередование знаков, начинающееся с минуса, можно задать множителем $(-1)^n$, так как при $n=1$ он равен -1, при $n=2$ он равен 1, и так далее.
Объединяя, получаем формулу: $a_n = (-1)^n \cdot 2^{n-1}$.
Также можно рассматривать эту последовательность как геометрическую прогрессию с первым членом $a_1 = -1$ и знаменателем $q = \frac{2}{-1} = -2$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = (-1) \cdot (-2)^{n-1} = (-1)^1 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-1} = (-1)^{n} \cdot 2^{n-1}$.
Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot 2^{n-1}$

7) Дана последовательность: $1; \frac{1}{8}; \frac{1}{27}; \frac{1}{64}; \frac{1}{125}; \frac{1}{216}; ...$
Представим первый член как $\frac{1}{1}$.
Числители всех членов равны 1.
Знаменатели образуют последовательность: 1; 8; 27; 64; 125; 216; ...
Заметим, что знаменатели являются кубами натуральных чисел:
$d_1 = 1 = 1^3$
$d_2 = 8 = 2^3$
$d_3 = 27 = 3^3$
$d_4 = 64 = 4^3$
...
Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности знаменателей — $n^3$.
Тогда формула для исходной последовательности:
$a_n = \frac{1}{n^3}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{n^3}$

8) Дана последовательность: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; \frac{5}{6}; \frac{6}{7}; ...$
Рассмотрим числители и знаменатели отдельно.
Последовательность числителей: 1; 2; 3; 4; 5; 6; ... Формула $n$-го члена этой последовательности — $n$.
Последовательность знаменателей: 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... Каждый член этой последовательности на 1 больше соответствующего номера $n$. Формула $n$-го члена — $n+1$.
Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем:
$a_n = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$

9) Дана последовательность: $\frac{3}{2}; \frac{5}{4}; \frac{7}{6}; \frac{9}{8}; \frac{11}{10}; \frac{13}{12}; ...$
Рассмотрим числители и знаменатели отдельно.
Последовательность числителей: 3; 5; 7; 9; 11; 13; ... Это арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и $d=2$. Формула $n$-го члена: $3 + (n-1)2 = 3+2n-2=2n+1$.
Последовательность знаменателей: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ... Это последовательность четных чисел. Формула $n$-го члена: $2n$.
Совмещая обе формулы, получаем общую формулу для последовательности:
$a_n = \frac{2n+1}{2n}$.
Ответ: $a_n = \frac{2n+1}{2n}$

10) Дана последовательность: 2; 5; 8; 11; 14; 17.
Это арифметическая прогрессия, так как разность между соседними членами постоянна.
Первый член $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 5 - 2 = 3$.
Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.
Проверим:
$a_1 = 3(1) - 1 = 2$
$a_2 = 3(2) - 1 = 5$
$a_3 = 3(3) - 1 = 8$
Формула верна.
Ответ: $a_n = 3n - 1$

12.5. Напишите первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой:

1) $a_n = (-1)^n$;

2) $a_n = 2n + 3$;

3) $a_n = 5n - 2$;

4) $a_n = n^2 + 1$;

5) $a_n = n^2 + n$;

6) $a_n = n^2 - 2n$;

7) $a_n = n^2 + 2n + 1$;

8) $a_n = (-1)^n n^2.

1) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 = -1$

При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 = 1$

При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 = -1$

При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 = 1$

При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 = -1$

Таким образом, первые пять членов последовательности: -1, 1, -1, 1, -1.

Ответ: -1, 1, -1, 1, -1.

2) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = 2n + 3$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$

При $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$

При $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

При $n=4$: $a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$

При $n=5$: $a_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$

Таким образом, первые пять членов последовательности: 5, 7, 9, 11, 13.

Ответ: 5, 7, 9, 11, 13.

3) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = 5n - 2$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = 5 \cdot 1 - 2 = 5 - 2 = 3$

При $n=2$: $a_2 = 5 \cdot 2 - 2 = 10 - 2 = 8$

При $n=3$: $a_3 = 5 \cdot 3 - 2 = 15 - 2 = 13$

При $n=4$: $a_4 = 5 \cdot 4 - 2 = 20 - 2 = 18$

При $n=5$: $a_5 = 5 \cdot 5 - 2 = 25 - 2 = 23$

Таким образом, первые пять членов последовательности: 3, 8, 13, 18, 23.

Ответ: 3, 8, 13, 18, 23.

4) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 1$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

При $n=2$: $a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

При $n=3$: $a_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

При $n=4$: $a_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$

При $n=5$: $a_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Таким образом, первые пять членов последовательности: 2, 5, 10, 17, 26.

Ответ: 2, 5, 10, 17, 26.

5) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + n$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

При $n=2$: $a_2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$

При $n=3$: $a_3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$

При $n=4$: $a_4 = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20$

При $n=5$: $a_5 = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30$

Таким образом, первые пять членов последовательности: 2, 6, 12, 20, 30.

Ответ: 2, 6, 12, 20, 30.

6) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 - 2n$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

При $n=2$: $a_2 = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$

При $n=3$: $a_3 = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$

При $n=4$: $a_4 = 4^2 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$

При $n=5$: $a_5 = 5^2 - 2 \cdot 5 = 25 - 10 = 15$

Таким образом, первые пять членов последовательности: -1, 0, 3, 8, 15.

Ответ: -1, 0, 3, 8, 15.

7) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 2n + 1$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$. Заметим, что формулу можно упростить, используя формулу квадрата суммы: $a_n = (n+1)^2$.

При $n=1$: $a_1 = (1+1)^2 = 2^2 = 4$

При $n=2$: $a_2 = (2+1)^2 = 3^2 = 9$

При $n=3$: $a_3 = (3+1)^2 = 4^2 = 16$

При $n=4$: $a_4 = (4+1)^2 = 5^2 = 25$

При $n=5$: $a_5 = (5+1)^2 = 6^2 = 36$

Таким образом, первые пять членов последовательности: 4, 9, 16, 25, 36.

Ответ: 4, 9, 16, 25, 36.

8) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n n^2$, необходимо последовательно подставить в формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot 1^2 = -1 \cdot 1 = -1$

При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$

При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot 3^2 = -1 \cdot 9 = -9$

При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 \cdot 4^2 = 1 \cdot 16 = 16$

При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 \cdot 5^2 = -1 \cdot 25 = -25$

Таким образом, первые пять членов последовательности: -1, 4, -9, 16, -25.

Ответ: -1, 4, -9, 16, -25.

12.6. Числовая последовательность задана формулой $a_n = (-1)^n n^2 - 3n$.

Запишите $a_6, a_9, a_{14}$.

Дана числовая последовательность, заданная формулой $a_n = (-1)^n n^2 - 3n$. Для того чтобы найти требуемые члены последовательности, необходимо подставить соответствующие значения $n$ в эту формулу.

$a_6$
Чтобы найти $a_6$, подставим $n = 6$ в формулу. Так как показатель степени 6 является четным числом, то $(-1)^6 = 1$.
$a_6 = (-1)^6 \cdot 6^2 - 3 \cdot 6 = 1 \cdot 36 - 18 = 36 - 18 = 18$.
Ответ: $18$.

$a_9$
Чтобы найти $a_9$, подставим $n = 9$ в формулу. Так как показатель степени 9 является нечетным числом, то $(-1)^9 = -1$.
$a_9 = (-1)^9 \cdot 9^2 - 3 \cdot 9 = -1 \cdot 81 - 27 = -81 - 27 = -108$.
Ответ: $-108$.

$a_{14}$
Чтобы найти $a_{14}$, подставим $n = 14$ в формулу. Так как показатель степени 14 является четным числом, то $(-1)^{14} = 1$.
$a_{14} = (-1)^{14} \cdot 14^2 - 3 \cdot 14 = 1 \cdot 196 - 42 = 196 - 42 = 154$.
Ответ: $154$.