Страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.7. Какие из следующих последовательностей являются:

а) возрастающими;

б) убывающими;

в) ни возрастающими и ни убывающими:

1) $-1; -5; -9; -13; -17;$

2) $\frac{2}{3}; \frac{2}{5}; \frac{2}{7}; \frac{2}{9}; \frac{2}{11};$

3) $-1; -\frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{64}; -\frac{1}{125};$

4) $-1; \frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \frac{1}{216};$

5) $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; 3; \sqrt{11};$

6) $\frac{6}{13}; \frac{7}{14}; \frac{8}{15}; \frac{9}{16}; \frac{10}{17}; \frac{11}{18}?$

Для определения характера монотонности последовательности необходимо сравнить каждый следующий ее член с предыдущим. Последовательность является:

• возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$);
• убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего ($a_{n+1} < a_n$);
• ни возрастающей и ни убывающей, если не выполняется ни одно из этих условий (например, если знаки членов чередуются или последовательность немонотонна).

Проанализируем каждую последовательность:

1) $-1; -5; -9; -13; -17; \dots$
Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -1$ и разностью $d = -5 - (-1) = -4$. Так как разность прогрессии отрицательна ($d < 0$), последовательность является убывающей. Каждый следующий член меньше предыдущего: $-1 > -5 > -9 > \dots$

2) $\frac{2}{3}; \frac{2}{5}; \frac{2}{7}; \frac{2}{9}; \frac{2}{11}; \dots$
Числитель дробей постоянен и равен 2, а знаменатели образуют возрастающую последовательность положительных чисел (3, 5, 7, 9, 11, ...). Для дробей с одинаковым положительным числителем, чем больше знаменатель, тем меньше сама дробь. Следовательно, последовательность является убывающей: $\frac{2}{3} > \frac{2}{5} > \frac{2}{7} > \dots$

3) $-1; -\frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; -\frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \dots$
Общий член последовательности можно записать как $a_n = -\frac{1}{n^3}$. Последовательность $b_n = \frac{1}{n^3}$ является убывающей, так как знаменатель $n^3$ возрастает. Тогда последовательность $a_n = -b_n$ является возрастающей. Сравним члены: $-1 < -\frac{1}{8} < -\frac{1}{27} < \dots$

4) $-1; \frac{1}{8}; -\frac{1}{27}; \frac{1}{64}; -\frac{1}{125}; \frac{1}{216}; \dots$
Члены этой последовательности чередуют знаки. Сравним первые несколько членов: $a_1 = -1$, $a_2 = \frac{1}{8}$, $a_3 = -\frac{1}{27}$. Имеем $a_1 < a_2$ (так как $-1 < \frac{1}{8}$) и $a_2 > a_3$ (так как $\frac{1}{8} > -\frac{1}{27}$). Поскольку последовательность сначала возрастает, а потом убывает, она не является ни возрастающей, ни убывающей.

5) $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; 3; \sqrt{11}; \dots$
Представим член $3$ в виде $\sqrt{9}$. Тогда последовательность примет вид: $\sqrt{3}; \sqrt{5}; \sqrt{7}; \sqrt{9}; \sqrt{11}; \dots$. Подкоренные выражения (3, 5, 7, 9, 11, ...) образуют возрастающую последовательность. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$. Следовательно, и сама последовательность является возрастающей.

6) $\frac{6}{13}; \frac{7}{14}; \frac{8}{15}; \frac{9}{16}; \frac{10}{17}; \frac{11}{18}; \dots$
Общий член последовательности $a_n = \frac{n+5}{n+12}$. Представим его в виде $a_n = \frac{n+12-7}{n+12} = 1 - \frac{7}{n+12}$. С увеличением $n$ знаменатель $n+12$ возрастает, значит, дробь $\frac{7}{n+12}$ убывает. Так как мы вычитаем из 1 все меньшее положительное число, результат $a_n$ будет возрастать. Следовательно, последовательность возрастающая.

а) возрастающими;

Возрастающими являются последовательности 3), 5), 6).

Ответ: 3, 5, 6.

б) убывающими;

Убывающими являются последовательности 1), 2).

Ответ: 1, 2.

в) ни возрастающими и ни убывающими:

Ни возрастающей, ни убывающей является последовательность 4).

Ответ: 4.

12.8. Имеется ли в последовательности, заданной формулой n-го члена:

1) $a_n = 37 - 2n$ член, равный 17;

2) $a_n = 49 - 3n$ член, равный $-7$;

3) $a_n = 3n - 2n^2$ член, равный $-104$;

4) $a_n = \frac{4n + 3}{n + 1}$ член, равный 13?

1) $a_n = 37 - 2n$ член, равный 17;

Чтобы определить, является ли число 17 членом данной последовательности, необходимо выяснить, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), при котором $a_n = 17$. Для этого решим уравнение:
$37 - 2n = 17$
Перенесем 17 влево, а $2n$ вправо:
$37 - 17 = 2n$
$20 = 2n$
$n = \frac{20}{2}$
$n = 10$
Поскольку мы получили натуральное число $n=10$, это означает, что член последовательности с номером 10 равен 17.
Ответ: да, является.

2) $a_n = 49 - 3n$ член, равный –7;

Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $a_n = -7$.
Составим и решим уравнение:
$49 - 3n = -7$
Перенесем -7 влево, а $3n$ вправо:
$49 + 7 = 3n$
$56 = 3n$
$n = \frac{56}{3}$
$n = 18\frac{2}{3}$
Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, то число –7 не является членом данной последовательности.
Ответ: нет, не является.

3) $a_n = 3n - 2n^2$ член, равный –104;

Проверим, существует ли натуральное число $n$, такое что $a_n = -104$.
Составим уравнение:
$3n - 2n^2 = -104$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2n^2 - 3n - 104 = 0$
Решим это уравнение относительно $n$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-104) = 9 + 832 = 841$
Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{841}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 29}{4} = \frac{32}{4} = 8$
$n_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{841}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 29}{4} = \frac{-26}{4} = -6.5$
Корень $n_2 = -6.5$ не является натуральным числом, поэтому он не может быть номером члена последовательности. Корень $n_1 = 8$ является натуральным числом. Следовательно, число –104 является 8-м членом данной последовательности.
Ответ: да, является.

4) $a_n = \frac{4n + 3}{n + 1}$ член, равный 13?

Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого $a_n = 13$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{4n + 3}{n + 1} = 13$
Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и знаменатель $n+1$ не равен нулю. Можем умножить обе части уравнения на $(n+1)$:
$4n + 3 = 13(n + 1)$
$4n + 3 = 13n + 13$
Сгруппируем члены с $n$ и свободные члены:
$3 - 13 = 13n - 4n$
$-10 = 9n$
$n = -\frac{10}{9}$
Полученное значение $n$ является отрицательным и дробным, а не натуральным числом. Следовательно, число 13 не является членом данной последовательности.
Ответ: нет, не является.

12.9. Какие формулы n-го члена задают:

а) возрастающие;

б) убывающие числовые последовательности:

1) $a_n = 3n - 7$;

2) $a_n = n^2 - 8$;

3) $a_n = 3\sqrt{n} + 4$;

4) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$;

5) $a_n = 1 - \frac{1}{n+1}$;

6) $a_n = 1 + \frac{2}{2n+1}$?

Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей, необходимо сравнить $(n+1)$-й член с $n$-м членом. Если $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$, последовательность возрастающая. Если $a_{n+1} < a_n$, последовательность убывающая. Это эквивалентно проверке знака разности $a_{n+1} - a_n$.

а) возрастающие

Последовательность является возрастающей, если $a_{n+1} - a_n > 0$.

1) $a_n = 3n - 7$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 3(n+1) - 7 = 3n - 4$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (3n - 4) - (3n - 7) = 3$.
Так как разность $3 > 0$, последовательность является возрастающей.

2) $a_n = n^2 - 8$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 8 = n^2 + 2n + 1 - 8 = n^2 + 2n - 7$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n - 7) - (n^2 - 8) = 2n + 1$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n + 1$ всегда положительно. Следовательно, последовательность возрастающая.

3) $a_n = 3\sqrt{n} + 4$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 3\sqrt{n+1} + 4$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (3\sqrt{n+1} + 4) - (3\sqrt{n} + 4) = 3(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
Для любого натурального $n$, $n+1 > n$, поэтому $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$. Значит, разность $3(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) > 0$, и последовательность является возрастающей.

5) $a_n = 1 - \frac{1}{n+1}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{(n+1)+1} = 1 - \frac{1}{n+2}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 - \frac{1}{n+2}) - (1 - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен, значит и вся дробь положительна. Следовательно, последовательность возрастающая.

Ответ: 1, 2, 3, 5.

б) убывающие

Последовательность является убывающей, если $a_{n+1} - a_n < 0$.

4) $a_n = 1 + \frac{1}{n}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 + \frac{1}{n+1}) - (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $n(n+1)$ положителен. Значит, вся дробь отрицательна, и последовательность является убывающей.

6) $a_n = 1 + \frac{2}{2n+1}$
Найдём $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = 1 + \frac{2}{2(n+1)+1} = 1 + \frac{2}{2n+3}$.
Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (1 + \frac{2}{2n+3}) - (1 + \frac{2}{2n+1}) = \frac{2}{2n+3} - \frac{2}{2n+1} = \frac{2(2n+1) - 2(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{4n+2 - 4n-6}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{-4}{(2n+3)(2n+1)}$.
Так как $n \ge 1$, знаменатель $(2n+3)(2n+1)$ положителен. Значит, вся дробь отрицательна, и последовательность является убывающей.

Ответ: 4, 6.

12.10. Напишите первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой:

1) $a_n = (-1)^n \cdot 2;$

2) $a_n = (-1)^n \cdot 2 + 2;$

3) $a_n = \frac{1 + (-1)^n}{2};$

4) $a_n = n^2 + (-1)^n n;$

5) $a_n = 2^n + 1;$

6) $a_n = (-1)^n n^2 - 3n;$

7) $a_n = n^2 + 2n + (-2)^{n+1};$

8) $a_n = (-1)^n n^2 + (-1)^{n+1};$

9) $a_n = \frac{n + (-1)^n}{2n}.$

1) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot 2$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$.
При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.
При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = -2$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: -2, 2, -2, 2, -2.
Ответ: -2, 2, -2, 2, -2.

2) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n \cdot 2 + 2$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot 2 + 2 = -2 + 2 = 0$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 + 2 = 2 + 2 = 4$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot 2 + 2 = -2 + 2 = 0$.
При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 \cdot 2 + 2 = 2 + 2 = 4$.
При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 \cdot 2 + 2 = -2 + 2 = 0$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 0, 4, 0, 4, 0.
Ответ: 0, 4, 0, 4, 0.

3) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = \frac{1 + (-1)^1}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{1 + (-1)^2}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{1 + (-1)^3}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{1 + (-1)^4}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{1 + (-1)^5}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 0, 1, 0, 1, 0.
Ответ: 0, 1, 0, 1, 0.

4) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + (-1)^n n$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = 1^2 + (-1)^1 \cdot 1 = 1 - 1 = 0$.
При $n=2$: $a_2 = 2^2 + (-1)^2 \cdot 2 = 4 + 2 = 6$.
При $n=3$: $a_3 = 3^2 + (-1)^3 \cdot 3 = 9 - 3 = 6$.
При $n=4$: $a_4 = 4^2 + (-1)^4 \cdot 4 = 16 + 4 = 20$.
При $n=5$: $a_5 = 5^2 + (-1)^5 \cdot 5 = 25 - 5 = 20$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 0, 6, 6, 20, 20.
Ответ: 0, 6, 6, 20, 20.

5) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = 2^n + 1$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3$.
При $n=2$: $a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
При $n=3$: $a_3 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$.
При $n=4$: $a_4 = 2^4 + 1 = 16 + 1 = 17$.
При $n=5$: $a_5 = 2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 3, 5, 9, 17, 33.
Ответ: 3, 5, 9, 17, 33.

6) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n n^2 - 3n$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -1 - 3 = -4$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -9 - 9 = -18$.
При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 \cdot 4^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4$.
При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 \cdot 5^2 - 3 \cdot 5 = -25 - 15 = -40$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: -4, -2, -18, 4, -40.
Ответ: -4, -2, -18, 4, -40.

7) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = n^2 + 2n + (-2)^{n+1}$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 + (-2)^{1+1} = 1 + 2 + (-2)^2 = 3 + 4 = 7$.
При $n=2$: $a_2 = 2^2 + 2 \cdot 2 + (-2)^{2+1} = 4 + 4 + (-2)^3 = 8 - 8 = 0$.
При $n=3$: $a_3 = 3^2 + 2 \cdot 3 + (-2)^{3+1} = 9 + 6 + (-2)^4 = 15 + 16 = 31$.
При $n=4$: $a_4 = 4^2 + 2 \cdot 4 + (-2)^{4+1} = 16 + 8 + (-2)^5 = 24 - 32 = -8$.
При $n=5$: $a_5 = 5^2 + 2 \cdot 5 + (-2)^{5+1} = 25 + 10 + (-2)^6 = 35 + 64 = 99$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 7, 0, 31, -8, 99.
Ответ: 7, 0, 31, -8, 99.

8) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = (-1)^n n^2 + (-1)^{n+1}$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot 1^2 + (-1)^{1+1} = -1 + 1 = 0$.
При $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot 2^2 + (-1)^{2+1} = 4 - 1 = 3$.
При $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot 3^2 + (-1)^{3+1} = -9 + 1 = -8$.
При $n=4$: $a_4 = (-1)^4 \cdot 4^2 + (-1)^{4+1} = 16 - 1 = 15$.
При $n=5$: $a_5 = (-1)^5 \cdot 5^2 + (-1)^{5+1} = -25 + 1 = -24$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 0, 3, -8, 15, -24.
Ответ: 0, 3, -8, 15, -24.

9) Чтобы найти первые пять членов числовой последовательности, заданной формулой $a_n = \frac{n + (-1)^n}{2n}$, необходимо последовательно подставить значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.
При $n=1$: $a_1 = \frac{1 + (-1)^1}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 1}{2} = 0$.
При $n=2$: $a_2 = \frac{2 + (-1)^2}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4}$.
При $n=3$: $a_3 = \frac{3 + (-1)^3}{2 \cdot 3} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
При $n=4$: $a_4 = \frac{4 + (-1)^4}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 1}{8} = \frac{5}{8}$.
При $n=5$: $a_5 = \frac{5 + (-1)^5}{2 \cdot 5} = \frac{5 - 1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 0, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{2}{5}$.
Ответ: 0, $\frac{3}{4}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{2}{5}$.

12.11. Исследуйте на монотонность последовательность $(a_n)$, заданную формулой:

1) $a_n = -3^n$;

2) $a_n = 5^{n+1}$;

3) $a_n = \frac{3n+1}{n+2}$;

4) $a_n = \frac{5n+3}{n+1}$.

Для исследования последовательности $(a_n)$ на монотонность необходимо определить, как изменяются ее члены с ростом номера $n$. Последовательность называется:

• строго возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$.
• строго убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.

Для этого можно исследовать знак разности $a_{n+1} - a_n$ или, если все члены последовательности положительны, сравнить отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ с единицей.

1) $a_n = -3^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -3^{n+1}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = -3^{n+1} - (-3^n) = -3^{n+1} + 3^n = 3^n \cdot (-3 + 1) = -2 \cdot 3^n$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $3^n$ всегда положительно. Следовательно, произведение $-2 \cdot 3^n$ всегда отрицательно.

$a_{n+1} - a_n < 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} < a_n$, то есть каждый следующий член последовательности меньше предыдущего. Таким образом, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.

2) $a_n = 5^{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 5^{(n+1)+1} = 5^{n+2}$.

Все члены последовательности положительны ($a_n > 0$ для всех $n$), поэтому мы можем рассмотреть их отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+2}}{5^{n+1}} = 5^{n+2-(n+1)} = 5^1 = 5$.

Так как отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 > 1$ для любого $n \in \mathbb{N}$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Таким образом, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

3) $a_n = \frac{3n+1}{n+2}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{3(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{3n+4}{n+3}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3) = (3n^2 + 6n + 4n + 8) - (3n^2 + 9n + n + 3) = (3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3) = 5$.

Таким образом, разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $(n+3)(n+2)$ является произведением двух положительных чисел и, следовательно, положителен. Числитель равен 5, что также положительно. Значит, вся дробь положительна.

$a_{n+1} - a_n > 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} > a_n$, то есть последовательность является строго возрастающей.

Альтернативный способ: представим общий член в другом виде, выделив целую часть: $a_n = \frac{3n+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-6+1}{n+2} = \frac{3(n+2)-5}{n+2} = 3 - \frac{5}{n+2}$. С ростом $n$ знаменатель $n+2$ растет, положительная дробь $\frac{5}{n+2}$ уменьшается, а значит разность $3 - \frac{5}{n+2}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

4) $a_n = \frac{5n+3}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{5(n+1)+3}{(n+1)+1} = \frac{5n+8}{n+2}$.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{5n+8}{n+2} - \frac{5n+3}{n+1} = \frac{(5n+8)(n+1) - (5n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(5n+8)(n+1) - (5n+3)(n+2) = (5n^2 + 5n + 8n + 8) - (5n^2 + 10n + 3n + 6) = (5n^2 + 13n + 8) - (5n^2 + 13n + 6) = 2$.

Таким образом, разность равна:

$a_{n+1} - a_n = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$.

Поскольку $n \ge 1$, знаменатель $(n+2)(n+1)$ является произведением двух положительных чисел и, следовательно, положителен. Числитель равен 2, что также положительно. Значит, вся дробь положительна.

$a_{n+1} - a_n > 0$ для любого $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $a_{n+1} > a_n$, то есть последовательность является строго возрастающей.

Альтернативный способ: представим общий член в другом виде, выделив целую часть: $a_n = \frac{5n+3}{n+1} = \frac{5(n+1)-5+3}{n+1} = \frac{5(n+1)-2}{n+1} = 5 - \frac{2}{n+1}$. С ростом $n$ знаменатель $n+1$ растет, положительная дробь $\frac{2}{n+1}$ уменьшается, а значит разность $5 - \frac{2}{n+1}$ увеличивается. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.