Страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

31.20. Сколько нужно взять молока 10%-ной жирности и пломбира 30%-ной жирности, чтобы получить 200 г 16%-го праздничного коктейля?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса молока 10%-ной жирности в граммах, а $y$ — масса пломбира 30%-ной жирности в граммах.

По условию, общая масса праздничного коктейля должна составить 200 г. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 200$

Второе уравнение составим на основе содержания жира. Масса жира в молоке составляет $0.10x$ г, а масса жира в пломбире — $0.30y$ г. Итоговый коктейль массой 200 г должен иметь жирность 16%, следовательно, масса жира в нем составляет $0.16 \cdot 200 = 32$ г. Таким образом, второе уравнение будет:

$0.1x + 0.3y = 32$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 200 \\ 0.1x + 0.3y = 32 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 200 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0.1(200 - y) + 0.3y = 32$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$20 - 0.1y + 0.3y = 32$

$0.2y = 32 - 20$

$0.2y = 12$

$y = \frac{12}{0.2} = 60$

Итак, масса пломбира составляет 60 г. Теперь найдем массу молока, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 200 - 60 = 140$

Следовательно, масса молока составляет 140 г.

Ответ: нужно взять 140 г молока 10%-ной жирности и 60 г пломбира 30%-ной жирности.

31.21. 1) В равносторонний треугольник со стороной 6 см вписан круг. Найдите отношение площади круга к площади треугольника.

2) В квадрат со стороной 8 см вписан круг. Найдите отношение площади круга к площади квадрата.

1) Для нахождения отношения площади круга к площади равностороннего треугольника, в который он вписан, необходимо найти обе площади.
Пусть сторона равностороннего треугольника $a = 6$ см.
Площадь равностороннего треугольника ($S_{треуг}$) вычисляется по формуле:
$S_{треуг} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны:
$S_{треуг} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².
Радиус круга ($r$), вписанного в равносторонний треугольник, связан со стороной треугольника формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Найдем радиус:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi r^2$
Подставим значение радиуса:
$S_{круга} = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см².
Теперь найдем искомое отношение площади круга к площади треугольника:
$\frac{S_{круга}}{S_{треуг}} = \frac{3\pi}{9\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$
Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

2) Для нахождения отношения площади круга к площади квадрата, в который он вписан, необходимо найти обе площади.
Пусть сторона квадрата $a = 8$ см.
Площадь квадрата ($S_{квад}$) вычисляется по формуле:
$S_{квад} = a^2$
Подставим значение стороны:
$S_{квад} = 8^2 = 64$ см².
Для круга, вписанного в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата ($d=a$), а радиус ($r$) равен половине стороны квадрата:
$r = \frac{a}{2}$
Найдем радиус:
$r = \frac{8}{2} = 4$ см.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi r^2$
Подставим значение радиуса:
$S_{круга} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².
Теперь найдем искомое отношение площади круга к площади квадрата:
$\frac{S_{круга}}{S_{квад}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

31.22. Найдите длину интервала, числа из которого являются решением неравенства:

1) $x^2 + 2x - 8 < 0;$

2) $x^2 - 3x - 10 < 0;$

3) $x^2 - 6x - 2 < 0;$

4) $x^2 + 12x - 4 < 0.$

1) Чтобы найти длину интервала, который является решением неравенства $x^2 + 2x - 8 < 0$, нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=2$, $c=-8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 2x - 8$ направлены вверх (коэффициент $a=1>0$), неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-4, 2)$.
Длина этого интервала равна разности его концов: $L = 2 - (-4) = 6$.
Ответ: 6

2) Решим неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Решением неравенства является интервал между корнями: $x \in (-2, 5)$.
Длина этого интервала: $L = 5 - (-2) = 7$.
Ответ: 7

3) Для неравенства $x^2 - 6x - 2 < 0$ решением будет интервал $(x_1, x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$. Длина этого интервала равна $x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a}$.
Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$, где $a=1$, $b=-6$, $c=-2$:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
Длина интервала: $L = \frac{\sqrt{44}}{1} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$.
Ответ: $2\sqrt{11}$

4) Для неравенства $x^2 + 12x - 4 < 0$ решением будет интервал, длина которого равна $\frac{\sqrt{D}}{a}$, где $D$ — дискриминант уравнения $x^2 + 12x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=-4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 144 + 16 = 160$.
Длина интервала: $L = \frac{\sqrt{160}}{1} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$