Номер 31.22, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.22. Найдите длину интервала, числа из которого являются решением неравенства:

1) $x^2 + 2x - 8 < 0;$

2) $x^2 - 3x - 10 < 0;$

3) $x^2 - 6x - 2 < 0;$

4) $x^2 + 12x - 4 < 0.$

1) Чтобы найти длину интервала, который является решением неравенства $x^2 + 2x - 8 < 0$, нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=2$, $c=-8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 2x - 8$ направлены вверх (коэффициент $a=1>0$), неравенство $x^2 + 2x - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $x \in (-4, 2)$.
Длина этого интервала равна разности его концов: $L = 2 - (-4) = 6$.
Ответ: 6

2) Решим неравенство $x^2 - 3x - 10 < 0$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-10$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Решением неравенства является интервал между корнями: $x \in (-2, 5)$.
Длина этого интервала: $L = 5 - (-2) = 7$.
Ответ: 7

3) Для неравенства $x^2 - 6x - 2 < 0$ решением будет интервал $(x_1, x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$. Длина этого интервала равна $x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a}$.
Найдем дискриминант для уравнения $x^2 - 6x - 2 = 0$, где $a=1$, $b=-6$, $c=-2$:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
Длина интервала: $L = \frac{\sqrt{44}}{1} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$.
Ответ: $2\sqrt{11}$

4) Для неравенства $x^2 + 12x - 4 < 0$ решением будет интервал, длина которого равна $\frac{\sqrt{D}}{a}$, где $D$ — дискриминант уравнения $x^2 + 12x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=12$, $c=-4$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 144 + 16 = 160$.
Длина интервала: $L = \frac{\sqrt{160}}{1} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.
Ответ: $4\sqrt{10}$