Номер 31.17, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.17. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{y - x^2 + 3x}{x^2 - 4} = 0; $

2) $ \frac{y - \sqrt{x} + 2}{x^2 - 1} = 0. $

1)

Рассмотрим уравнение $\frac{y - x^2 + 3x}{x^2 - 4} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 + 3x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y:

$y = x^2 - 3x$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

Из второго условия найдем недопустимые значения x:

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2 - 3x$ с двумя "выколотыми" точками, абсциссы которых равны 2 и -2.

Найдем координаты этих точек:

1. При $x = 2$, $y = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$. Точка $(2, -2)$ выколота.

2. При $x = -2$, $y = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$. Точка $(-2, 10)$ выколота.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины:

$x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$

$y_в = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25$

Вершина параболы находится в точке $(1.5, -2.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0$. Точка $(0,0)$.

С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

Построим график:

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 3x$ с выколотыми точками $(2, -2)$ и $(-2, 10)$.

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{y - \sqrt{x} + 2}{x^2 - 1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе условий: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю, и подкоренное выражение неотрицательно.

$\begin{cases} y - \sqrt{x} + 2 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y:

$y = \sqrt{x} - 2$

Это уравнение ветви параболы, симметричной относительно оси OX, сдвинутой на 2 единицы вниз.

Рассмотрим ограничения:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Учитывая условие $x \ge 0$, получаем, что $x$ может принимать любые неотрицательные значения, кроме $x=1$. Таким образом, область определения: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Следовательно, график исходного уравнения — это график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с выколотой точкой при $x=1$.

Найдем координаты этой точки:

При $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ выколота.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

Начальная точка: при $x = 0$, $y = \sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Пересечение с осью OX: $y = 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Дополнительная точка: при $x=9$, $y=\sqrt{9}-2=3-2=1$. Точка $(9,1)$.

Построим график:

Ответ: Графиком уравнения является часть параболы $y = \sqrt{x} - 2$ для $x \ge 0$, с выколотой точкой $(1, -1)$.