Страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.31. Числовая последовательность ($a_n$) задана формулой:

1) $a_n = 5n - 2;$

2) $a_n = 302 - 53n;$

3) $a_n = 7n - 5;$

4) $a_n = 45 - 11n.$

Найдите значение разности $a_7 - a_6.$

1) Для числовой последовательности, заданной формулой $a_n = 5n - 2$, необходимо найти разность $a_7 - a_6$. Эта формула задает арифметическую прогрессию, так как она имеет вид $a_n = dn + b$, где $d$ — разность прогрессии. В данном случае разность $d = 5$. Разность между любыми двумя последовательными членами арифметической прогрессии постоянна и равна ее разности $d$. Таким образом, $a_7 - a_6 = d = 5$.
Проверим это прямым вычислением:
Найдем седьмой член последовательности, подставив $n=7$:
$a_7 = 5 \cdot 7 - 2 = 35 - 2 = 33$.
Найдем шестой член последовательности, подставив $n=6$:
$a_6 = 5 \cdot 6 - 2 = 30 - 2 = 28$.
Теперь вычислим разность:
$a_7 - a_6 = 33 - 28 = 5$.
Ответ: 5

2) Для последовательности $a_n = 302 - 53n$ найдем разность $a_7 - a_6$. Это также арифметическая прогрессия. Коэффициент при $n$ является разностью прогрессии, то есть $d = -53$. Следовательно, разность $a_7 - a_6$ должна быть равна $-53$.
Проверим это прямым вычислением:
$a_7 = 302 - 53 \cdot 7 = 302 - 371 = -69$.
$a_6 = 302 - 53 \cdot 6 = 302 - 318 = -16$.
Вычислим разность:
$a_7 - a_6 = -69 - (-16) = -69 + 16 = -53$.
Ответ: -53

3) Для последовательности $a_n = 7n - 5$ найдем разность $a_7 - a_6$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d = 7$. Значит, $a_7 - a_6 = d = 7$.
Проверим это прямым вычислением:
$a_7 = 7 \cdot 7 - 5 = 49 - 5 = 44$.
$a_6 = 7 \cdot 6 - 5 = 42 - 5 = 37$.
Вычислим разность:
$a_7 - a_6 = 44 - 37 = 7$.
Ответ: 7

4) Для последовательности $a_n = 45 - 11n$ найдем разность $a_7 - a_6$. Это арифметическая прогрессия, разность которой равна коэффициенту при $n$, то есть $d = -11$. Следовательно, $a_7 - a_6 = d = -11$.
Проверим это прямым вычислением:
$a_7 = 45 - 11 \cdot 7 = 45 - 77 = -32$.
$a_6 = 45 - 11 \cdot 6 = 45 - 66 = -21$.
Вычислим разность:
$a_7 - a_6 = -32 - (-21) = -32 + 21 = -11$.
Ответ: -11

31.15. О Пьере-Симоне Лапласе — одном из создателей теории вероятностей; о Б. Паскале, в работах которого впервые отражены основные понятия теории вероятностей.

Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)

Блез Паскаль (1623–1662)

О Пьере-Симоне Лапласе — одном из создателей теории вероятностей;

Пьер-Симон, маркиз де Лаплас (1749–1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном, чьи работы оказали огромное влияние на развитие многих областей науки. Его по праву считают одним из создателей теории вероятностей в её современном, аналитическом виде. Если Блез Паскаль и Пьер де Ферма заложили основы теории, решая задачи, связанные с азартными играми, то Лаплас превратил её в строгую математическую дисциплину с широким спектром приложений.

Главным трудом Лапласа в этой области является монументальная работа «Аналитическая теория вероятностей» (Théorie analytique des probabilités, 1812 г.). В этой книге он систематизировал все известные к тому времени результаты и добавил множество своих. Он ввёл так называемое классическое определение вероятности, которое используется и по сей день для задач с конечным числом равновозможных исходов. Согласно этому определению, вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих событию $A$ ($m$), к общему числу всех равновозможных исходов ($n$):

$P(A) = \frac{m}{n}$

Лаплас разработал и широко применял метод производящих функций для решения вероятностных задач. Он также доказал одну из форм центральной предельной теоремы (известную как теорема Муавра — Лапласа), которая является краеугольным камнем современной статистики. Кроме того, его имя носит преобразование Лапласа — мощный математический инструмент для решения дифференциальных уравнений. Лаплас был сторонником детерминизма, что нашло отражение в его знаменитом мысленном эксперименте, известном как «демон Лапласа» — гипотетическом существе, которое, зная координаты и импульсы всех частиц во Вселенной в один момент времени, могло бы предсказать всё её будущее и прошлое.

Ответ: Пьер-Симон Лаплас обобщил и систематизировал знания о вероятности, превратив её в полноценный раздел математики. Он дал классическое определение вероятности, разработал мощный аналитический аппарат (включая производящие функции и центральную предельную теорему) и показал, как применять теорию вероятностей для анализа данных в астрономии, физике и других науках.

о Б. Паскале, в работах которого впервые отражены основные понятия теории вероятностей.

Блез Паскаль (1623–1662) — французский математик, физик, изобретатель, философ и литератор. Его вклад в становление теории вероятностей является фундаментальным и считается отправной точкой этой науки. Хотя отдельные идеи, связанные с вероятностью, высказывались и ранее, именно Паскаль совместно с Пьером де Ферма заложил её математические основы.

Начало теории вероятностей было положено в 1654 году в переписке между Паскалем и Ферма. Поводом послужили вопросы, заданные французским литератором и азартным игроком шевалье де Мере. Одна из самых известных задач, которую они решали, — это «задача о разделе ставки» (problème des partis). Суть задачи: два игрока играют в игру, состоящую из нескольких партий (например, до 6 побед). Игра прерывается до её завершения при счёте, скажем, 5:3. Как справедливо разделить призовой фонд, если известно, что шансы на победу в каждой отдельной партии у игроков равны?

Паскаль и Ферма подошли к решению, рассмотрев все возможные варианты дальнейшего развития игры. Они вычислили шансы каждого игрока на итоговую победу и предложили делить ставку пропорционально этим шансам. Этот подход привёл к возникновению одного из центральных понятий теории вероятностей — математического ожидания. Для решения этой и других задач Паскаль активно использовал свойства «арифметического треугольника», который сейчас известен как треугольник Паскаля. Элементы этого треугольника являются биномиальными коэффициентами $C_n^k$, которые показывают число способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов, что является основой комбинаторики.

Таким образом, работы Паскаля не просто решили конкретные задачи, но и ввели в математику методы, позволяющие строго рассуждать о случайных событиях и количественно оценивать неопределённость.

Ответ: Блез Паскаль, решая совместно с Пьером де Ферма задачи, связанные с азартными играми (в частности, «задачу о разделе ставки»), заложил основы теории вероятностей. Он впервые применил комбинаторные методы и идею анализа всех возможных исходов для вычисления шансов, что привело к формированию понятия математического ожидания.

31.16. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}+\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2}-4 \cdot \operatorname{ctg} 135^{\circ}}$;

2) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^{\circ}+\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}{5 \cdot \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{4}-3 \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

1) $\frac{\text{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg}135^\circ}$

Для решения этой задачи необходимо найти значения тригонометрических функций для заданных углов и подставить их в выражение.

Найдем значения для числителя:

$\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$, поэтому:

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем значения для знаменателя:

$\sin\frac{\pi}{2} = \sin90^\circ = 1$

Для нахождения $\text{ctg}135^\circ$ используем формулу приведения: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

$\text{ctg}135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg}45^\circ = -1$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение.

Числитель: $\text{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Знаменатель: $\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg}135^\circ = 1 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{5} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

2) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \text{tg}\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4}}$

Найдем значения тригонометрических функций и подставим их в выражение.

Значения для числителя:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$, поэтому:

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значения для знаменателя:

Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^\circ$. Для нахождения $\text{tg}\frac{3\pi}{4}$ используем формулу приведения: $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$.

$\text{tg}\frac{3\pi}{4} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\frac{\pi}{4} = -1$

$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = \text{ctg}45^\circ = 1$

Подставим все найденные значения в исходное выражение.

Числитель: $\sqrt{2} \cdot \sin45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Знаменатель: $5 \cdot \text{tg}\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5 - 3 = -8$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

31.17. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{y - x^2 + 3x}{x^2 - 4} = 0; $

2) $ \frac{y - \sqrt{x} + 2}{x^2 - 1} = 0. $

1)

Рассмотрим уравнение $\frac{y - x^2 + 3x}{x^2 - 4} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 + 3x = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y:

$y = x^2 - 3x$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

Из второго условия найдем недопустимые значения x:

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2 - 3x$ с двумя "выколотыми" точками, абсциссы которых равны 2 и -2.

Найдем координаты этих точек:

1. При $x = 2$, $y = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$. Точка $(2, -2)$ выколота.

2. При $x = -2$, $y = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$. Точка $(-2, 10)$ выколота.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины:

$x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$

$y_в = (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25$

Вершина параболы находится в точке $(1.5, -2.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0 \Rightarrow y = 0$. Точка $(0,0)$.

С осью OX: $y=0 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0, x=3$. Точки $(0,0)$ и $(3,0)$.

Построим график:

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 3x$ с выколотыми точками $(2, -2)$ и $(-2, 10)$.

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{y - \sqrt{x} + 2}{x^2 - 1} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе условий: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю, и подкоренное выражение неотрицательно.

$\begin{cases} y - \sqrt{x} + 2 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y:

$y = \sqrt{x} - 2$

Это уравнение ветви параболы, симметричной относительно оси OX, сдвинутой на 2 единицы вниз.

Рассмотрим ограничения:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Учитывая условие $x \ge 0$, получаем, что $x$ может принимать любые неотрицательные значения, кроме $x=1$. Таким образом, область определения: $x \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Следовательно, график исходного уравнения — это график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с выколотой точкой при $x=1$.

Найдем координаты этой точки:

При $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(1, -1)$ выколота.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

Начальная точка: при $x = 0$, $y = \sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Пересечение с осью OX: $y = 0 \Rightarrow \sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка $(4, 0)$.

Дополнительная точка: при $x=9$, $y=\sqrt{9}-2=3-2=1$. Точка $(9,1)$.

Построим график:

Ответ: Графиком уравнения является часть параболы $y = \sqrt{x} - 2$ для $x \ge 0$, с выколотой точкой $(1, -1)$.

31.18. Установите закономерность в последовательности чисел:

1)

$ -1; 2; 7; 14; 23; \dots ; $

2)

$ 4; 7; 12; 19; 28; \dots . $

1) -1; 2; 7; 14; 23; ...

Для того чтобы установить закономерность, найдем разность между соседними членами последовательности:

$a_2 - a_1 = 2 - (-1) = 3$

$a_3 - a_2 = 7 - 2 = 5$

$a_4 - a_3 = 14 - 7 = 7$

$a_5 - a_4 = 23 - 14 = 9$

Разности образуют последовательность нечетных чисел: 3, 5, 7, 9, ... . Это арифметическая прогрессия с первым членом $d_1 = 3$ и разностью $d = 2$.

Следующая разность в этой последовательности будет $9 + 2 = 11$.

Тогда шестой член исходной последовательности равен: $a_6 = a_5 + 11 = 23 + 11 = 34$.

Следующая за ней разность будет $11 + 2 = 13$.

Тогда седьмой член исходной последовательности равен: $a_7 = a_6 + 13 = 34 + 13 = 47$.

Таким образом, следующие два числа в последовательности – это 34 и 47.

Также можно заметить, что n-й член последовательности описывается формулой $a_n = n^2 - 2$:

$a_1 = 1^2 - 2 = -1$

$a_2 = 2^2 - 2 = 2$

$a_3 = 3^2 - 2 = 7$

$a_4 = 4^2 - 2 = 14$

$a_5 = 5^2 - 2 = 23$

Тогда $a_6 = 6^2 - 2 = 36 - 2 = 34$ и $a_7 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$.

Ответ: 34; 47.

2) 4; 7; 12; 19; 28; ...

Найдем разность между соседними членами последовательности:

$a_2 - a_1 = 7 - 4 = 3$

$a_3 - a_2 = 12 - 7 = 5$

$a_4 - a_3 = 19 - 12 = 7$

$a_5 - a_4 = 28 - 19 = 9$

Как и в предыдущем случае, разности образуют последовательность нечетных чисел: 3, 5, 7, 9, ... .

Следующая разность будет $9 + 2 = 11$.

Шестой член последовательности: $a_6 = a_5 + 11 = 28 + 11 = 39$.

Следующая разность будет $11 + 2 = 13$.

Седьмой член последовательности: $a_7 = a_6 + 13 = 39 + 13 = 52$.

Следующие два числа в последовательности – это 39 и 52.

Также можно заметить, что n-й член последовательности описывается формулой $a_n = n^2 + 3$:

$a_1 = 1^2 + 3 = 4$

$a_2 = 2^2 + 3 = 7$

$a_3 = 3^2 + 3 = 12$

$a_4 = 4^2 + 3 = 19$

$a_5 = 5^2 + 3 = 28$

Тогда $a_6 = 6^2 + 3 = 36 + 3 = 39$ и $a_7 = 7^2 + 3 = 49 + 3 = 52$.

Ответ: 39; 52.

31.19.1) Каждое простейшее животное инфузория-туфелька размножается делением на две части. Сколько инфузорий было первоначально, если после шестикратного деления их стало 320?

2) Тело падает с башни высотой 62 м. В первую секунду пролетает 2 м, а в каждую следующую секунду летит в 2 раза быстрее, чем за предыдущую. Сколько секунд пройдет до удара тела о землю?

1) Пусть $N_0$ — первоначальное количество инфузорий. Процесс размножения инфузорий представляет собой геометрическую прогрессию, так как на каждом этапе их количество удваивается. Знаменатель прогрессии $q=2$. Количество инфузорий после $n$ делений ($N_n$) можно найти по формуле $N_n = N_0 \cdot q^n$.
В условии сказано, что после шестикратного деления ($n=6$) количество инфузорий стало 320 ($N_6 = 320$). Подставим известные значения в формулу:
$320 = N_0 \cdot 2^6$
Сначала вычислим $2^6$:
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
$320 = N_0 \cdot 64$
Чтобы найти $N_0$, разделим 320 на 64:
$N_0 = \frac{320}{64} = 5$
Следовательно, первоначально было 5 инфузорий-туфелек.
Ответ: 5.

2) Расстояния, которые тело пролетает каждую секунду, образуют последовательность, являющуюся геометрической прогрессией.
Первый член этой прогрессии, $b_1$, — это расстояние, пройденное за первую секунду, то есть $b_1 = 2$ м.
Каждую следующую секунду тело пролетает в 2 раза большее расстояние, чем за предыдущую, поэтому знаменатель прогрессии $q = 2$.
Общее расстояние, пройденное телом, равно сумме членов этой прогрессии. Тело ударится о землю, когда эта сумма станет равна высоте башни, то есть 62 м. Нам нужно найти количество секунд $n$, за которое тело пролетит 62 м.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные нам значения: $S_n = 62$, $b_1 = 2$, $q = 2$.
$62 = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$
$62 = \frac{2(2^n - 1)}{1}$
$62 = 2(2^n - 1)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$31 = 2^n - 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$31 + 1 = 2^n$
$32 = 2^n$
Теперь нам нужно найти степень $n$, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 32.
Так как $2^5 = 32$, то $n = 5$.
Таким образом, полет тела до удара о землю продлится 5 секунд.
Ответ: 5 секунд.