Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13.9. 1) В арифметической прогрессии второй член равен 3,6, пятый — 9,6. Найдите номера членов прогрессии, принадлежащих числовому промежутку [15; 25].

2) В арифметической прогрессии третий член равен 2,4, шестой — 3,9. Найдите номера членов прогрессии, принадлежащих числовому промежутку [10; 20].

1)

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию, второй член прогрессии $a_2 = 3.6$, а пятый член $a_5 = 9.6$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.
Используя эту формулу, составим и решим систему уравнений:
$a_5 - a_2 = (a_1 + (5-1)d) - (a_1 + (2-1)d) = (a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 3d$
С другой стороны, $a_5 - a_2 = 9.6 - 3.6 = 6$.
Следовательно, $3d = 6$, откуда находим разность прогрессии $d = 2$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Так как $a_2 = a_1 + d$, то $a_1 = a_2 - d = 3.6 - 2 = 1.6$.
Таким образом, формула для n-го члена данной прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1.6 + (n-1) \cdot 2 = 1.6 + 2n - 2 = 2n - 0.4$
Нам нужно найти номера $n$ таких членов прогрессии, которые принадлежат числовому промежутку $[15; 25]$. Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:
$15 \le a_n \le 25$
Подставим формулу для $a_n$:
$15 \le 2n - 0.4 \le 25$
Прибавим 0.4 ко всем частям неравенства:
$15 + 0.4 \le 2n \le 25 + 0.4$
$15.4 \le 2n \le 25.4$
Разделим все части неравенства на 2:
$7.7 \le n \le 12.7$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то этому условию удовлетворяют следующие значения $n$: 8, 9, 10, 11, 12.
Ответ: 8, 9, 10, 11, 12.

2)

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию, третий член прогрессии $a_3 = 2.4$, а шестой член $a_6 = 3.9$.
Найдем разность прогрессии $d$.
$a_6 - a_3 = (a_1 + (6-1)d) - (a_1 + (3-1)d) = (a_1 + 5d) - (a_1 + 2d) = 3d$
С другой стороны, $a_6 - a_3 = 3.9 - 2.4 = 1.5$.
Следовательно, $3d = 1.5$, откуда $d = 0.5$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Так как $a_3 = a_1 + 2d$, то $a_1 = a_3 - 2d = 2.4 - 2 \cdot 0.5 = 2.4 - 1 = 1.4$.
Таким образом, формула для n-го члена данной прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1.4 + (n-1) \cdot 0.5 = 1.4 + 0.5n - 0.5 = 0.5n + 0.9$
Нам нужно найти номера $n$ таких членов прогрессии, которые принадлежат числовому промежутку $[10; 20]$. Составим и решим двойное неравенство:
$10 \le a_n \le 20$
Подставим формулу для $a_n$:
$10 \le 0.5n + 0.9 \le 20$
Вычтем 0.9 из всех частей неравенства:
$10 - 0.9 \le 0.5n \le 20 - 0.9$
$9.1 \le 0.5n \le 19.1$
Разделим все части неравенства на 0.5 (что эквивалентно умножению на 2):
$18.2 \le n \le 38.2$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то этому условию удовлетворяют целые числа от 19 до 38 включительно.
Ответ: 19, 20, 21, ..., 38.

13.10. 1) Второй член арифметической прогрессии равен 3, седьмой — 23. Найдите две тысячи одиннадцатый член арифметической прогрессии.

2) Третий член арифметической прогрессии равен 4, девятый — 22. Найдите две тысячи двадцать первый член арифметической прогрессии.

1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.
По условию задачи даны второй и седьмой члены прогрессии:
$a_2 = 3$
$a_7 = 23$
Используя формулу, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d \Rightarrow a_1 + d = 3$
$a_7 = a_1 + (7-1)d \Rightarrow a_1 + 6d = 23$
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + d) = 23 - 3$
$5d = 20$
$d = 4$
Теперь, зная разность прогрессии, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение:
$a_1 + 4 = 3$
$a_1 = -1$
Теперь мы можем найти любой член прогрессии. Нам нужно найти две тысячи одиннадцатый член, $a_{2011}$:
$a_{2011} = a_1 + (2011-1)d = a_1 + 2010d$
Подставим найденные значения $a_1 = -1$ и $d = 4$:
$a_{2011} = -1 + 2010 \cdot 4 = -1 + 8040 = 8039$
Ответ: 8039

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию даны третий и девятый члены прогрессии:
$a_3 = 4$
$a_9 = 22$
Составим систему уравнений:
$a_3 = a_1 + (3-1)d \Rightarrow a_1 + 2d = 4$
$a_9 = a_1 + (9-1)d \Rightarrow a_1 + 8d = 22$
Вычтем первое уравнение из второго для нахождения разности $d$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 2d) = 22 - 4$
$6d = 18$
$d = 3$
Подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $a_1$:
$a_1 + 2 \cdot 3 = 4$
$a_1 + 6 = 4$
$a_1 = -2$
Теперь найдем две тысячи двадцать первый член прогрессии, $a_{2021}$:
$a_{2021} = a_1 + (2021-1)d = a_1 + 2020d$
Подставим найденные значения $a_1 = -2$ и $d = 3$:
$a_{2021} = -2 + 2020 \cdot 3 = -2 + 6060 = 6058$
Ответ: 6058

13.11 1) Является ли число 95 членом арифметической прогрессии $15; 19; 23; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

2) Является ли число 2011 членом арифметической прогрессии $33; 42; 51; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

3) Является ли число 2035 членом арифметической прогрессии $-13; 19; 51; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

1) Чтобы определить, является ли число 95 членом арифметической прогрессии 15; 19; 23; ..., нужно сначала найти ее основные параметры и проверить, существует ли натуральный номер $n$ для этого члена.

Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = 19 - 15 = 4$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Мы хотим выяснить, существует ли такое натуральное число $n$, что $a_n = 95$. Подставим известные значения в формулу:
$95 = 15 + (n-1) \cdot 4$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$95 - 15 = (n-1) \cdot 4$
$80 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{80}{4}$
$n-1 = 20$
$n = 21$
Так как $n=21$ является натуральным числом, то число 95 является 21-м членом данной прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 21.

2) Проверим, является ли число 2011 членом арифметической прогрессии 33; 42; 51; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 33$.
Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 42 - 33 = 9$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 2011$:
$2011 = 33 + (n-1) \cdot 9$
Решим уравнение относительно $n$:
$2011 - 33 = (n-1) \cdot 9$
$1978 = (n-1) \cdot 9$
$n-1 = \frac{1978}{9}$
Проверим, делится ли 1978 на 9 нацело. Сумма цифр числа 1978 равна $1 + 9 + 7 + 8 = 25$. Так как 25 не делится на 9, то и 1978 не делится на 9 без остатка.
$n-1 = 219\frac{7}{9}$
$n = 220\frac{7}{9}$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, 2011 не является членом данной прогрессии.
Ответ: Нет, не является.

3) Проверим, является ли число 2035 членом арифметической прогрессии –13; 19; 51; ...

Первый член прогрессии $a_1 = -13$.
Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 19 - (-13) = 19 + 13 = 32$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 2035$:
$2035 = -13 + (n-1) \cdot 32$
Решим уравнение относительно $n$:
$2035 + 13 = (n-1) \cdot 32$
$2048 = (n-1) \cdot 32$
$n-1 = \frac{2048}{32}$
$n-1 = 64$
$n = 65$
Так как $n=65$ является натуральным числом, то число 2035 является 65-м членом данной прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 65.

13.12 . Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:

1) $c_{10} = 8$ и $c_{21} = 63$;

2) $c_{12} = 16$ и $c_{21} = 88$;

3) $c_9 = -1,8$ и $c_{19} = 23,2$;

4) $c_{17} = 3,4$ и $c_{29} = -18,2$.

1) Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.
Нам даны два члена прогрессии: $c_{10} = 8$ и $c_{21} = 63$.
Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $c_1$ и $d$:
$c_{10} = c_1 + (10-1)d \implies c_1 + 9d = 8$
$c_{21} = c_1 + (21-1)d \implies c_1 + 20d = 63$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:
$(c_1 + 20d) - (c_1 + 9d) = 63 - 8$
$c_1 + 20d - c_1 - 9d = 55$
$11d = 55$
$d = \frac{55}{11} = 5$
Теперь подставим найденное значение $d=5$ в первое уравнение ($c_1 + 9d = 8$), чтобы найти $c_1$:
$c_1 + 9 \cdot 5 = 8$
$c_1 + 45 = 8$
$c_1 = 8 - 45 = -37$
Ответ: первый член $c_1 = -37$, разность $d = 5$.

2) Даны члены прогрессии: $c_{12} = 16$ и $c_{21} = 88$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_{12} = c_1 + (12-1)d \implies c_1 + 11d = 16$
$c_{21} = c_1 + (21-1)d \implies c_1 + 20d = 88$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 20d) - (c_1 + 11d) = 88 - 16$
$9d = 72$
$d = \frac{72}{9} = 8$
Подставим значение $d=8$ в первое уравнение ($c_1 + 11d = 16$):
$c_1 + 11 \cdot 8 = 16$
$c_1 + 88 = 16$
$c_1 = 16 - 88 = -72$
Ответ: первый член $c_1 = -72$, разность $d = 8$.

3) Даны члены прогрессии: $c_9 = -1,8$ и $c_{19} = 23,2$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_9 = c_1 + (9-1)d \implies c_1 + 8d = -1,8$
$c_{19} = c_1 + (19-1)d \implies c_1 + 18d = 23,2$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 18d) - (c_1 + 8d) = 23,2 - (-1,8)$
$10d = 23,2 + 1,8$
$10d = 25$
$d = \frac{25}{10} = 2,5$
Подставим значение $d=2,5$ в первое уравнение ($c_1 + 8d = -1,8$):
$c_1 + 8 \cdot 2,5 = -1,8$
$c_1 + 20 = -1,8$
$c_1 = -1,8 - 20 = -21,8$
Ответ: первый член $c_1 = -21,8$, разность $d = 2,5$.

4) Даны члены прогрессии: $c_{17} = 3,4$ и $c_{29} = -18,2$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_{17} = c_1 + (17-1)d \implies c_1 + 16d = 3,4$
$c_{29} = c_1 + (29-1)d \implies c_1 + 28d = -18,2$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 28d) - (c_1 + 16d) = -18,2 - 3,4$
$12d = -21,6$
$d = \frac{-21,6}{12} = -1,8$
Подставим значение $d=-1,8$ в первое уравнение ($c_1 + 16d = 3,4$):
$c_1 + 16 \cdot (-1,8) = 3,4$
$c_1 - 28,8 = 3,4$
$c_1 = 3,4 + 28,8 = 32,2$
Ответ: первый член $c_1 = 32,2$, разность $d = -1,8$.

13.13. Найдите число отрицательных членов арифметической прогрессии:

1) $-24,5; -23; \ldots$

2) $-13,3; -10,1; \ldots$

3) $-22,4; -19,6; \ldots$

Чтобы найти число отрицательных членов арифметической прогрессии, необходимо найти наибольший номер члена прогрессии $n$, для которого выполняется неравенство $a_n < 0$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1) Для прогрессии $-24,5; -23; \ldots$
Находим первый член $a_1$ и разность $d$:
$a_1 = -24,5$
$d = a_2 - a_1 = -23 - (-24,5) = -23 + 24,5 = 1,5$
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-24,5 + (n-1) \cdot 1,5 < 0$
$1,5(n-1) < 24,5$
$n-1 < \frac{24,5}{1,5} = \frac{245}{15} = \frac{49}{3}$
$n-1 < 16\frac{1}{3}$
$n < 17\frac{1}{3}$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 17. Таким образом, в прогрессии 17 отрицательных членов.
Ответ: 17

2) Для прогрессии $-13,3; -10,1; \ldots$
Находим первый член $a_1$ и разность $d$:
$a_1 = -13,3$
$d = a_2 - a_1 = -10,1 - (-13,3) = -10,1 + 13,3 = 3,2$
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-13,3 + (n-1) \cdot 3,2 < 0$
$3,2(n-1) < 13,3$
$n-1 < \frac{13,3}{3,2} = \frac{133}{32}$
$n-1 < 4,15625$
$n < 5,15625$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 5. Таким образом, в прогрессии 5 отрицательных членов.
Ответ: 5

3) Для прогрессии $-22,4; -19,6; \ldots$
Находим первый член $a_1$ и разность $d$:
$a_1 = -22,4$
$d = a_2 - a_1 = -19,6 - (-22,4) = -19,6 + 22,4 = 2,8$
Составим и решим неравенство $a_n < 0$:
$-22,4 + (n-1) \cdot 2,8 < 0$
$2,8(n-1) < 22,4$
$n-1 < \frac{22,4}{2,8} = \frac{224}{28}$
$n-1 < 8$
$n < 9$
Наибольшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 8. Таким образом, в прогрессии 8 отрицательных членов.
Ответ: 8

13.14. Известны два члена арифметической прогрессии $(a_n)$ $a_7 = -1,6$ и $a_{13} = 4,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число отрицательных членов;

3) первый положительный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. По условию задачи известны $a_7 = -1,6$ и $a_{13} = 4,8$.
Составим систему уравнений на основе этих данных:
$ \begin{cases} a_1 + (7-1)d = -1,6 \\ a_1 + (13-1)d = 4,8 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 6d = -1,6 \\ a_1 + 12d = 4,8 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:
$(a_1 + 12d) - (a_1 + 6d) = 4,8 - (-1,6)$
$6d = 6,4$
$d = \frac{6,4}{6} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15}$.
Теперь найдем первый член $a_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:
$a_1 + 6 \cdot \frac{16}{15} = -1,6$
$a_1 + \frac{96}{15} = -1,6$
$a_1 + \frac{32}{5} = -1,6$
$a_1 + 6,4 = -1,6$
$a_1 = -1,6 - 6,4 = -8$.
Ответ: первый член $a_1 = -8$, разность $d = \frac{16}{15}$.

2) число отрицательных членов;

Чтобы найти число отрицательных членов прогрессии, необходимо определить, для каких натуральных номеров $n$ выполняется неравенство $a_n < 0$.
Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и найденные значения $a_1 = -8$ и $d = \frac{16}{15}$, составим и решим неравенство:
$-8 + (n-1) \cdot \frac{16}{15} < 0$
$(n-1) \cdot \frac{16}{15} < 8$
$n-1 < 8 \cdot \frac{15}{16}$
$n-1 < \frac{15}{2}$
$n-1 < 7,5$
$n < 8,5$.
Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $n < 8,5$, это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Таким образом, в прогрессии 8 отрицательных членов.
Ответ: 8.

3) первый положительный член прогрессии.

Из решения в пункте 2 мы установили, что члены прогрессии отрицательны при $n < 8,5$. Это означает, что члены $a_1, a_2, \dots, a_8$ отрицательны. Следовательно, первым положительным членом будет следующий за ними, то есть $a_9$.
Вычислим его значение:
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
$a_9 = -8 + 8 \cdot \frac{16}{15} = -8 + \frac{128}{15}$
$a_9 = -\frac{120}{15} + \frac{128}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

13.15. Известны два члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_5 = -2,4$ и $a_{11} = 6,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число отрицательных членов;

3) первый положительный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.

По условию задачи известны два члена прогрессии: $a_5 = -2,4$ и $a_{11} = 6,8$.

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + (5-1)d = -2,4 \\ a_1 + (11-1)d = 6,8 \end{cases}$

$\begin{cases} a_1 + 4d = -2,4 \\ a_1 + 10d = 6,8 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = 6,8 - (-2,4)$

$6d = 9,2$

$d = \frac{9,2}{6} = \frac{92}{60} = \frac{23}{15}$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 4 \cdot \frac{23}{15} = -2,4$

$a_1 = -2,4 - \frac{92}{15} = -\frac{24}{10} - \frac{92}{15} = -\frac{12}{5} - \frac{92}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$a_1 = -\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{92}{15} = -\frac{36}{15} - \frac{92}{15} = -\frac{36 + 92}{15} = -\frac{128}{15}$

Ответ: первый член $a_1 = -\frac{128}{15}$, разность $d = \frac{23}{15}$.

2) число отрицательных членов;

Чтобы найти число отрицательных членов прогрессии, нужно решить неравенство $a_n < 0$.

$a_n = a_1 + (n-1)d < 0$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$-\frac{128}{15} + (n-1)\frac{23}{15} < 0$

Умножим обе части неравенства на $15$, чтобы избавиться от знаменателя (знак неравенства не меняется, так как $15 > 0$):

$-128 + 23(n-1) < 0$

$-128 + 23n - 23 < 0$

$23n - 151 < 0$

$23n < 151$

$n < \frac{151}{23}$

Выполним деление:

$\frac{151}{23} = 6 \frac{13}{23}$

Итак, $n < 6 \frac{13}{23}$. Поскольку $n$ (номер члена прогрессии) является натуральным числом, отрицательными будут члены с номерами $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Таким образом, в прогрессии 6 отрицательных членов.

Ответ: 6.

3) первый положительный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что члены прогрессии с $n \le 6$ являются отрицательными. Следовательно, первым положительным членом будет член с номером $n=7$, так как $7$ - это наименьшее натуральное число, большее чем $6 \frac{13}{23}$.

Найдем значение седьмого члена прогрессии $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$a_7 = -\frac{128}{15} + 6 \cdot \frac{23}{15} = -\frac{128}{15} + \frac{138}{15}$

$a_7 = \frac{138 - 128}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Значение $a_7 = \frac{2}{3}$ является положительным числом.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

32.13. В куб вписан шар. Точка наугад бросается в куб. Найдите вероятность того, что точка попадет в шар.

Вероятность того, что точка, брошенная наугад в куб, попадет во вписанный в него шар, определяется как отношение объема шара к объему куба. Это задача на геометрическую вероятность.

Пусть сторона куба равна $a$. Тогда объем куба $V_{\text{куба}}$ вычисляется по формуле:
$V_{\text{куба}} = a^3$

Поскольку шар вписан в куб, он касается всех шести граней куба изнутри. Это означает, что диаметр шара равен длине ребра куба. Следовательно, радиус шара $R$ равен половине ребра куба:
$R = \frac{a}{2}$

Объем шара $V_{\text{шара}}$ находится по формуле:
$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$
Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R = \frac{a}{2}$:
$V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Искомая вероятность $P$ равна отношению объема шара к объему куба:
$P = \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{куба}}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3}$

Сократив $a^3$ в числителе и знаменателе, мы получаем конечный результат, который не зависит от размера куба:
$P = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

*32.14. В шар вписан куб. Точка наугад бросается в шар. Какова вероятность того, что она попадет в куб?

Вероятность того, что точка, брошенная наугад в шар, попадет во вписанный в него куб, определяется как отношение объема куба к объему шара. Это задача на геометрическую вероятность.

$P = \frac{V_{куб}}{V_{шар}}$

Для нахождения этой вероятности необходимо выразить объемы обеих фигур через одну и ту же переменную, например, радиус шара $R$.

1. Установление связи между ребром куба и радиусом шара

Пусть сторона куба равна $a$, а радиус шара — $R$.

Когда куб вписан в шар, все его вершины лежат на поверхности шара. Главная диагональ куба, соединяющая две самые дальние его вершины, проходит через центр шара и равна его диаметру.

Длина главной диагонали куба ($d_{куб}$) со стороной $a$ находится по теореме Пифагора в пространстве и равна $d_{куб} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Диаметр шара ($D_{шар}$) с радиусом $R$ равен $D_{шар} = 2R$.

Так как $d_{куб} = D_{шар}$, мы можем записать равенство:

$a\sqrt{3} = 2R$

Выразим сторону куба $a$ через радиус шара $R$:

$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

2. Вычисление объемов куба и шара

Объем куба ($V_{куб}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V_{куб} = a^3$. Подставим в нее найденное выражение для $a$:

$V_{куб} = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}}$

Объем шара ($V_{шар}$) с радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$V_{шар} = \frac{4}{3}\pi R^3$

3. Расчет искомой вероятности

Теперь мы можем найти вероятность $P$, разделив объем куба на объем шара:

$P = \frac{V_{куб}}{V_{шар}} = \frac{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сократим общие множители ($R^3$ и $\frac{1}{3}$) в числителе и знаменателе:

$P = \frac{8/\sqrt{3}}{4\pi} = \frac{8}{4\pi\sqrt{3}} = \frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2}{\pi\sqrt{3}}$

*32.15. В куб вписан шар. Точка наугад бросается в куб. Найдите вероятность того, что она не попадет в шар.

Для решения этой задачи используется понятие геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно брошенная в куб точка окажется в некоторой области внутри него, равна отношению объема этой области к объему всего куба.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что точка не попадет в шар. Вероятность этого события ($P_{непоп}$) можно найти как разность единицы и вероятности противоположного события – попадания точки в шар ($P_{поп}$).

$P_{непоп} = 1 - P_{поп}$

Вероятность попадания точки в шар равна отношению объема шара к объему куба:

$P_{поп} = \frac{V_{шара}}{V_{куба}}$

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Тогда объем куба равен:

$V_{куба} = a^3$

Шар вписан в куб. Это означает, что шар касается всех шести граней куба изнутри. Следовательно, диаметр шара равен длине ребра куба: $d = a$.

Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

Объем шара вычисляется по формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса $R = \frac{a}{2}$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Теперь найдем вероятность попадания точки в шар:

$P_{поп} = \frac{V_{шара}}{V_{куба}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6}$

Наконец, найдем искомую вероятность того, что точка не попадет в шар:

$P_{непоп} = 1 - P_{поп} = 1 - \frac{\pi}{6}$

Ответ: $1 - \frac{\pi}{6}$.

32.16. Возникновение теории вероятностей как науки относят к Средним векам.

Самые ранние работы ученых в области теории вероятностей относятся к XVII в. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер де Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. Важный вклад в теорию вероятностей внес Якоб Бернулли.

Пьер де Ферма
(1601–1655)

Христиан Гюйгенс
(1629–1695)

Якоб Бернулли
(1654–1705)

Утверждение, вынесенное в заголовок, является неверным. Возникновение теории вероятностей как науки относят не к Средним векам, которые исторически завершились в XV веке, а к XVII веку — периоду Нового времени. Как указано в тексте, первые фундаментальные работы в этой области были написаны французскими учёными Блезом Паскалем и Пьером де Ферма. Они исследовали математические закономерности, возникающие в азартных играх, и в своей переписке в 1654 году заложили основы теории вероятностей.

На изображениях представлены портреты некоторых из ключевых фигур, стоявших у истоков этой науки:

Пьер де Ферма
(1601–1655)
Христиан Гюйгенс
(1629–1695)
Якоб Бернулли
(1654–1705)

Помимо Паскаля и Ферма, важный вклад в становление теории вероятностей внесли и другие учёные, упомянутые в тексте. Голландец Христиан Гюйгенс, вдохновлённый работами французов, написал первый трактат на эту тему «О расчётах в азартных играх» (1657). Позже швейцарский математик Якоб Бернулли доказал одну из центральных теорем теории вероятностей — закон больших чисел, который был опубликован посмертно в его труде «Искусство предположений» (1713).

Ответ: Утверждение о возникновении теории вероятностей в Средние века неверно. Согласно тексту и историческим фактам, теория вероятностей как наука зародилась в XVII веке благодаря работам Блеза Паскаля, Пьера де Ферма, Христиана Гюйгенса и Якоба Бернулли, которые изучали математические аспекты случайных событий, в первую очередь на примере азартных игр.