Страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. К какому способу задания числовой последовательности можно отнести арифметическую прогрессию?

2. Приведите примеры конечной и бесконечной арифметической прогрессии.

3. Что для арифметической прогрессии обозначает формула $d = a_{n+1} - a_n$?

4. По какому признаку можно установить, что числовая последовательность является арифметической прогрессией?

1. Арифметическую прогрессию относят к рекуррентному способу задания числовой последовательности. Это связано с тем, что по определению, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, получается из предыдущего путем прибавления к нему постоянного числа $d$ (разности прогрессии). Это выражается рекуррентной формулой $a_{n+1} = a_n + d$. Однако, арифметическую прогрессию можно задать и аналитически, с помощью формулы n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Ответ: Арифметическую прогрессию относят к рекуррентному способу задания последовательности, но ее также можно задать и аналитическим способом.

2. Пример конечной арифметической прогрессии: последовательность всех нечетных положительных чисел, меньших 20. Эта прогрессия выглядит так: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Здесь первый член $a_1=1$, разность $d=2$, и в прогрессии 10 членов.
Пример бесконечной арифметической прогрессии: последовательность всех натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 1. Эта прогрессия выглядит так: 1, 4, 7, 10, 13, ... . Здесь первый член $a_1=1$, разность $d=3$.
Ответ: Пример конечной прогрессии: 1, 3, 5, ..., 19. Пример бесконечной прогрессии: 1, 4, 7, 10, ...

3. В арифметической прогрессии формула $d = a_{n+1} - a_n$ является определением ее основного параметра — разности прогрессии. Буква $d$ обозначает разность прогрессии, $a_n$ — это член прогрессии с номером $n$ (n-й член), а $a_{n+1}$ — это следующий за ним член прогрессии с номером $n+1$. Формула утверждает, что разность между любым последующим и предыдущим членами прогрессии является постоянной величиной.
Ответ: Эта формула определяет разность арифметической прогрессии ($d$) как постоянную величину, равную разности между любым ее последующим членом ($a_{n+1}$) и предыдущим ($a_n$).

4. Основной признак, по которому можно установить, что числовая последовательность является арифметической прогрессией, заключается в постоянстве разности между ее соседними членами. Если для всех натуральных $n$ разность $a_{n+1} - a_n$ является одним и тем же числом, то данная последовательность — арифметическая прогрессия. Также существует характеристическое свойство: каждый член прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своих соседних членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
Ответ: Числовая последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом, постоянна.

13.1. Какие из следующих конечных последовательностей являются арифметическими прогрессиями:

1) 2; 7; 12; 17; 22; 27;

2) -200; -100; -50; -25; -12,5;

3) 4; 20; 100; 500; 2500;

4) -11; -1; 9; 19; 29;

5) 1,35; 1,6; 1,85; 2,1; 2,35;

6) -1,3; 0,13; -0,013; 0,0013;

7) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$; 0; $-\frac{1}{6}$;

8) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{54}$; $\frac{1}{162}$?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой $d$. Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической, нужно найти разность между соседними членами ($a_{n+1} - a_n$). Если эта разность постоянна для всей последовательности, то она является арифметической прогрессией.

1) 2; 7; 12; 17; 22; 27;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$
$a_3 - a_2 = 12 - 7 = 5$
$a_4 - a_3 = 17 - 12 = 5$
$a_5 - a_4 = 22 - 17 = 5$
$a_6 - a_5 = 27 - 22 = 5$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $d=5$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

2) –200; –100; –50; –25; –12,5;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = -100 - (-200) = 100$
$a_3 - a_2 = -50 - (-100) = 50$
Так как разности не равны ($100 \neq 50$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

3) 4; 20; 100; 500; 2500;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 20 - 4 = 16$
$a_3 - a_2 = 100 - 20 = 80$
Так как разности не равны ($16 \neq 80$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

4) –11; –1; 9; 19; 29;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = -1 - (-11) = 10$
$a_3 - a_2 = 9 - (-1) = 10$
$a_4 - a_3 = 19 - 9 = 10$
$a_5 - a_4 = 29 - 19 = 10$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $d=10$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

5) 1,35; 1,6; 1,85; 2,1; 2,35;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 1,6 - 1,35 = 0,25$
$a_3 - a_2 = 1,85 - 1,6 = 0,25$
$a_4 - a_3 = 2,1 - 1,85 = 0,25$
$a_5 - a_4 = 2,35 - 2,1 = 0,25$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $d=0,25$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

6) –1,3; 0,13; –0,013; 0,0013;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 0,13 - (-1,3) = 1,43$
$a_3 - a_2 = -0,013 - 0,13 = -0,143$
Так как разности не равны ($1,43 \neq -0,143$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

7) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$; 0; $-\frac{1}{6}$;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$
$a_3 - a_2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$
$a_4 - a_3 = 0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$
$a_5 - a_4 = -\frac{1}{6} - 0 = -\frac{1}{6}$
Разность между всеми соседними членами постоянна и равна $d = -\frac{1}{6}$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: является арифметической прогрессией.

8) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{54}$; $\frac{1}{162}$;
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
$a_3 - a_2 = \frac{1}{18} - \frac{1}{6} = \frac{1}{18} - \frac{3}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$
Так как разности не равны ($-\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{9}$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: не является арифметической прогрессией.

1. К каким геометрическим величинам применяют геометрическую вероятность?

2. В каком случае геометрическая вероятность равна: 1) 0; 2) 1?

1. Геометрическая вероятность применяется в тех случаях, когда пространство элементарных исходов представляет собой непрерывное множество, которое можно измерить. Этими измеримыми геометрическими величинами являются длина (для одномерных пространств, например, отрезка на прямой), площадь (для двумерных пространств, например, фигуры на плоскости) и объем (для трехмерных пространств, например, тела в пространстве).
Вероятность события $A$ вычисляется как отношение меры области, благоприятствующей событию, к мере всего пространства исходов: $P(A) = \frac{mes(A)}{mes(\Omega)}$, где $mes$ – это длина, площадь или объем.
Ответ: Геометрическую вероятность применяют к длине, площади и объему.

2. Геометрическая вероятность, как и любая другая, принимает значения в диапазоне от 0 до 1.
1) Вероятность равна 0 для невозможного события. В контексте геометрической вероятности это означает, что геометрическая мера (длина, площадь или объем) множества благоприятствующих исходов равна нулю. Например, вероятность случайным образом выбрать точку с определенными координатами на отрезке равна 0, так как длина одной точки равна 0. Аналогично, вероятность попасть в линию, начерченную внутри квадрата, равна 0, так как площадь линии равна 0. Таким образом, $P(A) = \frac{mes(A)}{mes(\Omega)} = \frac{0}{mes(\Omega)} = 0$.
2) Вероятность равна 1 для достоверного события. Это происходит, когда множество благоприятствующих исходов совпадает со всем пространством элементарных исходов. Иными словами, любое возможное событие является благоприятным. В этом случае мера множества благоприятствующих исходов равна мере всего пространства исходов. Например, вероятность того, что точка, случайным образом выбранная из квадрата, окажется внутри этого же квадрата, равна 1. Формула показывает: $P(A) = \frac{mes(A)}{mes(\Omega)} = \frac{mes(\Omega)}{mes(\Omega)} = 1$.
Ответ: 1) Геометрическая вероятность равна 0 для невозможного события, то есть когда мера (длина, площадь, объем) множества благоприятных исходов равна нулю. 2) Геометрическая вероятность равна 1 для достоверного события, то есть когда множество благоприятных исходов совпадает со всем пространством элементарных исходов (их меры равны).

32.1. На стол бросают игральный кубик. Найдите вероятность того, что:

1) на кубике появится 4 очка;

2) на кубике появится четное число очков.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

При бросании стандартного игрального кубика возможно 6 равновозможных исходов, так как у него 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Таким образом, общее число исходов $n = 6$.

1) на кубике появится 4 очка;
Пусть событие A заключается в том, что на кубике выпало 4 очка.
Этому событию благоприятствует только один исход: выпадение грани с числом 4.
Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Вероятность события A вычисляется по формуле:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

2) на кубике появится четное число очков.
Пусть событие B заключается в том, что на кубике выпало четное число очков.
К четным числам на гранях кубика относятся 2, 4 и 6.
Таким образом, этому событию благоприятствуют 3 исхода.
Число благоприятствующих исходов $m = 3$.
Вероятность события B вычисляется по формуле:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

32.2. На отрезок длиной в 1 см наугад брошена точка. Какова вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит $ \frac{1}{4} $?

32.2. Данная задача решается с помощью методов геометрической вероятности. В качестве пространства элементарных исходов выступает отрезок длиной 1 см. Мы можем представить этот отрезок на числовой оси как интервал $[0, 1]$. Общая мера (длина) этого пространства равна $L_{общ} = 1$.

Пусть $x$ — это координата точки, случайно брошенной на отрезок $[0, 1]$. Значение $x$ является случайной величиной, равномерно распределенной на этом отрезке.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит $\frac{1}{4}$.

Концы отрезка имеют координаты 0 и 1.

• Расстояние от точки с координатой $x$ до левого конца (0) равно $x$.
• Расстояние от точки с координатой $x$ до правого конца (1) равно $1 - x$.

Таким образом, условия задачи можно записать в виде системы неравенств:

$x > \frac{1}{4}$

$1 - x > \frac{1}{4}$

Решим второе неравенство относительно $x$:

$1 - \frac{1}{4} > x$

$\frac{3}{4} > x$, или $x < \frac{3}{4}$

Чтобы событие произошло, координата точки $x$ должна удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Это означает, что $x$ должна находиться в интервале, где выполняются оба условия: $\frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}$.

Этот интервал $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ является множеством благоприятных исходов. Длина (мера) этого интервала равна:

$L_{благ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Наглядно это можно представить на схеме:

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины интервала благоприятных исходов к общей длине отрезка:

$P = \frac{L_{благ}}{L_{общ}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

32.3. В квадрат, длина стороны которого равна 2 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что точка А попадает в квадрат, находящийся в первом квадрате, длина стороны которого равна 1 см?

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события, заключающегося в попадании наугад брошенной точки в некоторую часть области, равна отношению меры (в данном случае — площади) этой части к мере всей области.

Общей областью, куда бросается точка А, является большой квадрат. Обозначим его площадь как $S_{общ}$. Длина стороны этого квадрата по условию равна $a_1 = 2$ см.

Площадь большого квадрата вычисляется по формуле:$S_{общ} = a_1^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$.

Благоприятной областью является меньший квадрат, находящийся внутри первого. Попадание точки в него является благоприятным исходом. Обозначим его площадь как $S_{благ}$. Длина стороны этого квадрата равна $a_2 = 1$ см.

Площадь малого квадрата вычисляется аналогично:$S_{благ} = a_2^2 = 1^2 = 1 \text{ см}^2$.

Визуализация задачи представлена на рисунке, где зеленым цветом показана благоприятная область, а синим — оставшаяся часть общей области.

Вероятность $P$ того, что точка А попадет в малый квадрат, равна отношению площади благоприятной области к площади общей области:$P = \frac{S_{благ}}{S_{общ}} = \frac{1 \text{ см}^2}{4 \text{ см}^2} = \frac{1}{4}$.

Эту вероятность также можно выразить в виде десятичной дроби $0,25$ или в процентах — $25\%$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

32.4. В квадрат, длина стороны которого равна 2 см, наугад брошена точка А. Какова вероятность того, что точка А не попадает в квадрат, находящийся в первом квадрате, длина стороны которого равна 1 см?

Для решения данной задачи воспользуемся понятием геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующей этому событию области к мере всей области, в которую может попасть точка.

Пусть $S_{общ}$ — это площадь большого квадрата, а $S_{мал}$ — площадь малого квадрата.

1. Найдем площадь большого квадрата. Длина его стороны равна 2 см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина стороны.
$S_{общ} = 2^2 = 4$ см$^2$.
Эта площадь представляет собой все возможные исходы (места, куда может попасть точка A).

2. Найдем площадь малого квадрата, находящегося внутри большого. Длина его стороны равна 1 см.
$S_{мал} = 1^2 = 1$ см$^2$.
Эта площадь представляет собой область, куда точка А попадать не должна.

3. Найдем площадь благоприятной области ($S_{бл}$). Это область, в которую должна попасть точка А, то есть вся площадь большого квадрата за вычетом площади малого квадрата.
$S_{бл} = S_{общ} - S_{мал} = 4 - 1 = 3$ см$^2$.

4. Теперь можем вычислить вероятность $P$ того, что точка А не попадет в малый квадрат. Для этого разделим площадь благоприятной области на общую площадь.
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: Вероятность того, что точка А не попадет в малый квадрат, равна $\frac{3}{4}$ или $0.75$.

32.5. В круг, длина радиуса которого равна 2 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка попадает в круг, находящийся внутри первого круга, длина радиуса которого равна 1 см.

Эта задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность попадания случайной точки в некоторую область внутри большей области равна отношению их мер. В двумерном случае мерой является площадь.

Пусть $S_R$ — это площадь большого круга, в который наугад бросается точка (это пространство всех элементарных исходов), а $S_r$ — это площадь малого круга (пространство благоприятствующих исходов).

По условию задачи даны радиусы кругов:

Радиус большого круга: $R = 2$ см.

Радиус малого круга: $r = 1$ см.

Для наглядности можно представить эти круги как концентрические (имеющие общий центр):

1. Найдем площадь большого круга, используя формулу площади круга $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

$S_R = \pi R^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

2. Аналогично найдем площадь малого круга.

$S_r = \pi r^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см$^2$.

3. Теперь найдем искомую вероятность $P$ как отношение площади малого круга (благоприятной области) к площади большого круга (всей области).

$P = \frac{S_r}{S_R} = \frac{\pi}{4\pi}$

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе, получаем результат:

$P = \frac{1}{4}$

Эту вероятность можно также выразить в виде десятичной дроби, которая равна $0.25$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.