Страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.19. Найдите формулу общего (n-го) члена числовой последовательности, если известны следующие первые ее члены:

1) 0; 7; 26; 63; 124; 215;

2) 8; 26; 80; 242; 729;

3) 1; 7; 31; 127; 511;

4) $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$; $\frac{1}{\sqrt{3}+1}$; $\frac{1}{\sqrt{4}-1}$; $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$.

1) Дана последовательность: 0; 7; 26; 63; 124; 215; ...
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
$a_1 = 0$
$a_2 = 7$
$a_3 = 26$
$a_4 = 63$
$a_5 = 124$
$a_6 = 215$
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они близки к кубам натуральных чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
Каждый член последовательности $a_n$ на единицу меньше, чем куб его номера $n$.
$a_1 = 1^3 - 1 = 0$
$a_2 = 2^3 - 1 = 7$
$a_3 = 3^3 - 1 = 26$
и так далее.
Таким образом, формула общего (n-го) члена последовательности имеет вид $a_n = n^3 - 1$.
Ответ: $a_n = n^3 - 1$

2) Дана последовательность: 8; 26; 80; 242; 729; ...
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они близки к степеням числа 3:
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
$3^6 = 729$
Видно, что первые четыре члена можно описать формулой $a_n = 3^{n+1} - 1$:
$a_1 = 3^{1+1} - 1 = 3^2 - 1 = 8$
$a_2 = 3^{2+1} - 1 = 3^3 - 1 = 26$
$a_3 = 3^{3+1} - 1 = 3^4 - 1 = 80$
$a_4 = 3^{4+1} - 1 = 3^5 - 1 = 242$
Однако, пятый член последовательности $a_5 = 729$, в то время как по найденной закономерности он должен быть равен $3^{5+1} - 1 = 728$. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если исходить из закономерности, установленной первыми четырьмя членами, формула общего члена имеет следующий вид.
Ответ: $a_n = 3^{n+1} - 1$

3) Дана последовательность: 1; 7; 31; 127; 511; ...
Проанализируем члены последовательности. Заметим, что они на единицу меньше степеней числа 2:
$a_1 = 1 = 2 - 1 = 2^1 - 1$
$a_2 = 7 = 8 - 1 = 2^3 - 1$
$a_3 = 31 = 32 - 1 = 2^5 - 1$
$a_4 = 127 = 128 - 1 = 2^7 - 1$
$a_5 = 511 = 512 - 1 = 2^9 - 1$
Показатели степеней двойки (1, 3, 5, 7, 9, ...) образуют арифметическую прогрессию нечетных чисел. Формула для n-го нечетного числа — $2n - 1$.
Таким образом, формула для n-го члена последовательности имеет вид $a_n = 2^{2n-1} - 1$.
Проверим ее:
При $n=1$: $a_1 = 2^{2 \cdot 1 - 1} - 1 = 2^1 - 1 = 1$.
При $n=3$: $a_3 = 2^{2 \cdot 3 - 1} - 1 = 2^5 - 1 = 31$.
Формула верна.
Ответ: $a_n = 2^{2n-1} - 1$

4) Дана последовательность: $\frac{1}{\sqrt{2}-1}; \frac{1}{\sqrt{3}+1}; \frac{1}{\sqrt{4}-1}; \frac{1}{\sqrt{5}+1}; \dots$
Обозначим n-й член последовательности как $a_n$. Проанализируем знаменатель каждого члена.
Число под знаком корня в знаменателе для n-го члена равно $n+1$.
Второй член в знаменателе чередуется: -1, +1, -1, +1, ...
Для нечетных $n$ (1, 3, ...) он равен -1.
Для четных $n$ (2, 4, ...) он равен +1.
Такое чередование знаков можно представить с помощью выражения $(-1)^n$, так как $(-1)^1 = -1$, $(-1)^2 = 1$, $(-1)^3 = -1$ и так далее.
Таким образом, знаменатель n-го члена можно записать как $\sqrt{n+1} + (-1)^n$.
Следовательно, формула общего члена последовательности: $a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + (-1)^n}$.
Ответ: $a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + (-1)^n}$

12.20. Исследуйте на ограниченность числовую последовательность:

1) $c_n = \frac{n+3}{n+1};$

2) $c_n = \frac{(-1)^n}{n+2};$

3) $c_n = \frac{2n-1}{2n+3};$

4) $c_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}. $

1)Для последовательности $c_n = \frac{n+3}{n+1}$ преобразуем формулу общего члена:
$c_n = \frac{n+1+2}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+1 \ge 2$, и дробь $\frac{2}{n+1}$ всегда положительна.
Следовательно, $c_n = 1 + \frac{2}{n+1} > 1$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 1.
С увеличением $n$ знаменатель $n+1$ возрастает, а дробь $\frac{2}{n+1}$ уменьшается. Значит, последовательность $c_n$ является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при $n=1$:
$c_1 = \frac{1+3}{1+1} = \frac{4}{2} = 2$.
Таким образом, для любого $n \ge 1$ выполняется неравенство $c_n \le 2$, то есть последовательность ограничена сверху числом 2.
Так как последовательность ограничена и снизу, и сверху ($1 < c_n \le 2$), она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

2)Для последовательности $c_n = \frac{(-1)^n}{n+2}$ рассмотрим модуль ее общего члена:
$|c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+2}\right| = \frac{1}{n+2}$, поскольку для натуральных $n$ знаменатель $n+2$ всегда положителен.
Так как $n \ge 1$, то $n+2 \ge 1+2 = 3$.
Отсюда следует, что $\frac{1}{n+2} \le \frac{1}{3}$.
Таким образом, для всех натуральных $n$ выполняется неравенство $|c_n| \le \frac{1}{3}$, что эквивалентно двойному неравенству $-\frac{1}{3} \le c_n \le \frac{1}{3}$.
Это означает, что последовательность ограничена снизу числом $-\frac{1}{3}$ и сверху числом $\frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

3)Для последовательности $c_n = \frac{2n-1}{2n+3}$ преобразуем формулу общего члена:
$c_n = \frac{2n+3-4}{2n+3} = 1 - \frac{4}{2n+3}$.
Для любого натурального $n \ge 1$, знаменатель $2n+3$ положителен, а значит, и вся дробь $\frac{4}{2n+3}$ положительна.
Следовательно, $c_n = 1 - \frac{4}{2n+3} < 1$. Таким образом, последовательность ограничена сверху числом 1.
С ростом $n$ знаменатель $2n+3$ увеличивается, а дробь $\frac{4}{2n+3}$ уменьшается. Поскольку мы вычитаем из 1 уменьшающееся положительное число, то последовательность $c_n$ является возрастающей.
Наименьшее значение достигается при $n=1$:
$c_1 = \frac{2(1)-1}{2(1)+3} = \frac{1}{5}$.
Так как последовательность возрастает, все ее члены больше или равны первому: $c_n \ge \frac{1}{5}$. Значит, последовательность ограничена снизу числом $\frac{1}{5}$.
Поскольку последовательность ограничена и снизу, и сверху ($\frac{1}{5} \le c_n < 1$), она является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

4)Для последовательности $c_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$ рассмотрим модуль ее общего члена:
$|c_n| = \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right| = \frac{n}{n+1}$.
Выражение для модуля можно переписать так: $|c_n| = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$.
Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{1}{n+1}$ всегда положительна.
Следовательно, $|c_n| = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$ для любого натурального $n$.
Неравенство $|c_n| < 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 < c_n < 1$.
Это означает, что все члены последовательности лежат в интервале $(-1, 1)$, то есть последовательность ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
Следовательно, данная последовательность является ограниченной.
Ответ: последовательность ограничена.

12.21. Выпишите первые пять членов числовой последовательности, если ее первый член равен 17, а каждый следующий член равен предыдущему, увеличенному на значение суммы его цифр.

Обозначим члены последовательности через $a_n$. По условию задачи, первый член последовательности $a_1 = 17$.
Каждый следующий член последовательности ($a_{n+1}$) равен предыдущему ($a_n$), увеличенному на сумму цифр предыдущего члена. Обозначим сумму цифр числа $x$ как $S(x)$. Тогда правило можно записать в виде формулы: $a_{n+1} = a_n + S(a_n)$.
Выпишем первые пять членов последовательности.

1. Первый член дан по условию:
$a_1 = 17$.

2. Второй член ($a_2$):
Найдем сумму цифр первого члена $a_1 = 17$:
$S(17) = 1 + 7 = 8$.
Теперь найдем второй член:
$a_2 = a_1 + S(a_1) = 17 + 8 = 25$.

3. Третий член ($a_3$):
Найдем сумму цифр второго члена $a_2 = 25$:
$S(25) = 2 + 5 = 7$.
Теперь найдем третий член:
$a_3 = a_2 + S(a_2) = 25 + 7 = 32$.

4. Четвертый член ($a_4$):
Найдем сумму цифр третьего члена $a_3 = 32$:
$S(32) = 3 + 2 = 5$.
Теперь найдем четвертый член:
$a_4 = a_3 + S(a_3) = 32 + 5 = 37$.

5. Пятый член ($a_5$):
Найдем сумму цифр четвертого члена $a_4 = 37$:
$S(37) = 3 + 7 = 10$.
Теперь найдем пятый член:
$a_5 = a_4 + S(a_4) = 37 + 10 = 47$.

Итак, мы нашли первые пять членов последовательности.
Ответ: 17, 25, 32, 37, 47.

12.22. Задайте рекуррентным или аналитическим способом числовую последовательность, первый член которой равен:

1) 1, третий член равен 5;

2) 3, третий член равен 11, а каждый из остальных членов равен среднему арифметическому двух соседних членов.

1)

По условию, нам даны первый и третий члены последовательности: $a_1 = 1$ и $a_3 = 5$. Условий для однозначного задания последовательности недостаточно, поэтому мы можем выбрать наиболее простой вид последовательности, удовлетворяющей этим условиям, например, арифметическую прогрессию.

Пусть искомая последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $d$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используем известные члены последовательности для нахождения разности $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
Подставим значения $a_1 = 1$ и $a_3 = 5$ в формулу:
$5 = 1 + 2d$
$2d = 5 - 1$
$2d = 4$
$d = 2$

Теперь мы можем задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Аналитический способ:
Формула $n$-го члена последовательности:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$.
Итак, аналитическая формула последовательности: $a_n = 2n - 1$.

Рекуррентный способ:
Задается первый член и формула для нахождения следующего члена через предыдущий:
$a_1 = 1$
$a_{n+1} = a_n + d = a_n + 2$ для $n \ge 1$.
Итак, рекуррентное задание последовательности: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

Ответ: Последовательность можно задать аналитически формулой $a_n = 2n - 1$ или рекуррентно: $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 2$.

2)

По условию, нам даны первый и третий члены последовательности: $a_1 = 3$ и $a_3 = 11$. Также дано условие, что каждый из остальных членов равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Это условие можно записать в виде формулы для любого члена $a_n$ с номером $n \ge 2$:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Преобразуем это выражение:
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Перепишем его в другом виде, выразив разность соседних членов:
$a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Это равенство означает, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Такая последовательность по определению является арифметической прогрессией. Обозначим эту постоянную разность как $d$.

Теперь, зная, что последовательность является арифметической прогрессией, мы можем найти ее разность $d$, используя известные члены $a_1 = 3$ и $a_3 = 11$.
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$11 = 3 + 2d$
$2d = 11 - 3$
$2d = 8$
$d = 4$

Теперь мы можем задать последовательность аналитически или рекуррентно.

Аналитический способ:
Формула $n$-го члена последовательности:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.
Итак, аналитическая формула последовательности: $a_n = 4n - 1$.

Рекуррентный способ:
Задается первый член и формула для нахождения следующего члена через предыдущий:
$a_1 = 3$
$a_{n+1} = a_n + d = a_n + 4$ для $n \ge 1$.
Итак, рекуррентное задание последовательности: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$.

Ответ: Последовательность можно задать аналитически формулой $a_n = 4n - 1$ или рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 4$.

*12.23. Задайте рекуррентным или аналитическим способом числовую последовательность:

1) 7; 14; 28; 56; 112;

2) 3; -3; 3; -3; 3; -3;

3) 23; 28; 38; 49; 62; 70;

4) $ \frac{1}{1 \cdot 2} $; $ \frac{1}{2 \cdot 3} $; $ \frac{1}{3 \cdot 4} $; $ \frac{1}{4 \cdot 5} $; $ \frac{1}{5 \cdot 6} $.

1)

Обозначим члены последовательности $a_n$. Первый член последовательности $a_1 = 7$. Найдем отношение последующих членов к предыдущим: $a_2 / a_1 = 14 / 7 = 2$ $a_3 / a_2 = 28 / 14 = 2$ $a_4 / a_3 = 56 / 28 = 2$ $a_5 / a_4 = 112 / 56 = 2$ Каждый следующий член последовательности в 2 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = 7$ и знаменателем $q = 2$.

Эту последовательность можно задать двумя способами:

1. Аналитический способ: Формула n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Подставив наши значения, получаем: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$.

2. Рекуррентный способ: Каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2. $a_1 = 7$, $a_{n+1} = 2 \cdot a_n$ при $n \ge 1$.

Ответ: Аналитически: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$; рекуррентно: $a_1 = 7, a_{n+1} = 2a_n$.

2)

Обозначим члены последовательности $b_n$. Это знакочередующаяся последовательность. Заметим, что по модулю все члены равны 3. $b_1 = 3$ $b_2 = -3 = 3 \cdot (-1)$ $b_3 = 3 = -3 \cdot (-1)$ $b_4 = -3 = 3 \cdot (-1)$ Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 3$ и знаменателем $q = -1$.

Аналитический способ: Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Получаем: $b_n = 3 \cdot (-1)^{n-1}$.

Рекуррентный способ: $b_1 = 3$, $b_{n+1} = -b_n$ при $n \ge 1$.

Ответ: Аналитически: $b_n = 3 \cdot (-1)^{n-1}$.

3)

Обозначим члены последовательности $c_n$. $c_1 = 23; c_2 = 28; c_3 = 38; c_4 = 49; c_5 = 62; c_6 = 70$. Найдем разности между соседними членами: $c_2 - c_1 = 28 - 23 = 5$ $c_3 - c_2 = 38 - 28 = 10$ $c_4 - c_3 = 49 - 38 = 11$ $c_5 - c_4 = 62 - 49 = 13$ $c_6 - c_5 = 70 - 62 = 8$

Последовательность разностей (5, 10, 11, 13, 8) не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией, что указывает на отсутствие простой закономерности или на возможную опечатку в условии.

Однако, первые три члена (23, 28, 38) соответствуют закономерности, где разности образуют арифметическую прогрессию. Разность между первым и вторым членом равна 5, а между вторым и третьим — 10. Можно предположить, что разности должны были быть 5, 10, 15, 20, 25, ... (арифметическая прогрессия с первым членом 5 и разностью 5).

Если это так, то последовательность можно задать рекуррентно: $c_1 = 23$ $c_n = c_{n-1} + 5(n-1)$ для $n \ge 2$.

Проверим: $c_2 = c_1 + 5(2-1) = 23 + 5 = 28$ $c_3 = c_2 + 5(3-1) = 28 + 10 = 38$ $c_4 = c_3 + 5(4-1) = 38 + 15 = 53$ (в условии 49) $c_5 = c_4 + 5(5-1) = 53 + 20 = 73$ (в условии 62)

Таким образом, наиболее вероятная закономерность, нарушенная из-за опечаток, задается рекуррентной формулой.

Ответ: Предполагая наличие опечаток в условии, последовательность можно задать рекуррентно: $c_1 = 23$, $c_n = c_{n-1} + 5(n-1)$ при $n \ge 2$.

4)

Обозначим члены последовательности $d_n$. $d_1 = \frac{1}{1 \cdot 2}$ $d_2 = \frac{1}{2 \cdot 3}$ $d_3 = \frac{1}{3 \cdot 4}$ $d_4 = \frac{1}{4 \cdot 5}$ $d_5 = \frac{1}{5 \cdot 6}$

Легко заметить, что числитель каждого члена равен 1, а знаменатель n-го члена равен произведению натурального числа $n$ на следующее за ним натуральное число $n+1$.

Аналитический способ: Формула n-го члена последовательности имеет вид: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$

Ответ: $d_n = \frac{1}{n(n+1)}$.

12.24. Леонардо Пизанский (Фибоначчи)

итальянский математик, написал в 1202 г. труд под названием "Книга абака" (Liber Abaci), которая стала первой математической энциклопедией Средневековья, сыгравшей существенную роль в развитии математики в Европе. Он познакомил европейцев с десятичной системой исчисления.

Леонардо
Пизанский
(1180–1240)

На основе информации, представленной в тексте и на изображении, можно сделать следующие выводы о Леонардо Пизанском и его вкладе в науку.

Леонардо Пизанский, также известный под прозвищем Фибоначчи (годы жизни, согласно подписи к портрету, 1180–1240), был выдающимся итальянским математиком. В 1202 году он написал свой главный труд — «Книга абака» (на латыни Liber Abaci). Эта работа имела колоссальное значение для своего времени и для последующего развития науки. Она стала первой математической энциклопедией Средневековья, систематизировав доступные на тот момент знания. Ключевой заслугой Фибоначчи, которую он изложил в своей книге, является знакомство и популяризация в Европе позиционной десятичной системы счисления. Эта система, использующая арабские цифры (включая ноль), была значительно эффективнее и удобнее, чем использовавшаяся в то время римская система, и её внедрение сыграло существенную роль в развитии математики, торговли и инженерного дела в Европе.

Ответ: Леонардо Пизанский (Фибоначчи) — итальянский математик (ок. 1180–1240), автор труда «Книга абака» (1202 г.). Его книга стала первой математической энциклопедией Средневековья и сыграла ключевую роль в развитии математики в Европе, в частности, познакомив европейцев с десятичной системой счисления.

31.4. 1) В классе 25 учащихся, из которых 5 учатся на отлично, 12 — на хорошо, 6 — на удовлетворительно и 2 — слабо. Какова вероятность того, что наугад вызванный к доске учащийся отличник или ударник?

2) Среди 25 экзаменационных билетов 5 “легких”. Двое учащихся по очереди берут по одному билету. Какова вероятность того, что первый учащийся взял “легкий” билет?

1) Для решения этой задачи используем классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу равновозможных исходов $n$.
Общее число исходов $n$ — это общее количество учащихся в классе, то есть $n=25$.
Нас интересует событие, когда вызванный учащийся — отличник или ударник (учащийся на «хорошо»). Эти два события несовместны, так как в условии задачи ученики разделены на четкие группы.
Число отличников — 5.
Число ударников (учащихся на «хорошо») — 12.
Число благоприятных исходов $m$ — это сумма числа отличников и ударников:
$m = 5 + 12 = 17$.
Теперь найдем вероятность $P$:
$P = \frac{m}{n} = \frac{17}{25}$
Для удобства переведем дробь в десятичный вид:
$\frac{17}{25} = \frac{17 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{68}{100} = 0,68$.
Ответ: 0,68.

2) В этой задаче нужно найти вероятность того, что первый учащийся вытянет «легкий» билет.
Общее число экзаменационных билетов — 25. Это общее число равновозможных исходов для первого учащегося, $n=25$.
Число «легких» билетов — 5. Это количество благоприятных исходов, $m=5$.
Тот факт, что второй учащийся также будет тянуть билет, не влияет на вероятность выбора первого учащегося. Мы рассматриваем только первое событие.
Вероятность $P$ того, что первый учащийся возьмет «легкий» билет, вычисляется по формуле:
$P = \frac{m}{n} = \frac{5}{25}$
Сократим дробь и представим в виде десятичного числа:
$\frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

31.5. Брошена игральная кость. Найдите вероятность выпадения:

1) трех или пяти очков;

2) пяти или шести очков;

3) семи очков.

Стандартная игральная кость имеет 6 граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. При броске кости может выпасть любое из этих чисел. Таким образом, общее число равновозможных исходов $n=6$.
Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов.

1) трех или пяти очков;
Событие А заключается в том, что выпадет три или пять очков. Благоприятными для этого события являются два исхода: выпадение грани с числом 3 и выпадение грани с числом 5.
Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) пяти или шести очков;
Событие B заключается в том, что выпадет пять или шесть очков. Благоприятными для этого события являются два исхода: выпадение грани с числом 5 и выпадение грани с числом 6.
Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) семи очков.
Событие C заключается в том, что выпадет семь очков. На стандартной игральной кости нет грани с числом 7. Максимальное возможное число очков — 6. Таким образом, выпадение семи очков является невозможным событием.
Число благоприятных исходов для этого события $m = 0$.
Вероятность этого события равна:
$P(C) = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$.
Ответ: $0$.

31.6. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что значение произведения очков равно 5.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих искомому событию.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов при броске двух игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней, поэтому при броске одной кости возможно 6 исходов. Так как бросают две кости, общее число комбинаций ($N$) равно произведению числа исходов для каждой кости:
$N = 6 \times 6 = 36$.

Далее найдем число благоприятствующих исходов ($m$). Благоприятствующим является исход, при котором произведение выпавших на двух костях очков равно 5. Пусть на первой кости выпало число $k_1$, а на второй — $k_2$. Нам нужно найти все пары $(k_1, k_2)$, для которых $k_1 \times k_2 = 5$, при условии, что $k_1$ и $k_2$ — целые числа от 1 до 6.

Число 5 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только одним способом: $1 \times 5$. Это означает, что возможны следующие комбинации:
1. На первой кости выпало 1, а на второй — 5. Это исход (1, 5).
2. На первой кости выпало 5, а на второй — 1. Это исход (5, 1).
Других комбинаций, дающих в произведении 5, не существует. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Теперь рассчитаем вероятность, подставив найденные значения $m$ и $N$ в формулу:
$P = \frac{m}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$

31.7. 1) Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится герб?

2) Брошены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут ровно два герба?

1)

При бросании монеты два раза возможны следующие равновероятные исходы. Обозначим "Г" – выпадение герба, "Р" – выпадение решки.

Перечислим все возможные исходы:

ГГ (герб, герб)
ГР (герб, решка)
РГ (решка, герб)
РР (решка, решка)

Общее число возможных исходов $n = 4$.

Нас интересует событие "хотя бы один раз появится герб". Этому событию соответствуют следующие исходы:

ГГ, ГР, РГ

Число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$.

Подставим наши значения: $P = \frac{3}{4} = 0.75$.

Также можно решить задачу через противоположное событие. Противоположное событие для "хотя бы один раз появится герб" — это "ни разу не появится герб", то есть выпадут две решки (РР). Вероятность этого события равна $\frac{1}{4}$. Тогда вероятность интересующего нас события равна $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2)

При бросании трех монет общее число равновероятных исходов равно $2^3 = 8$. Обозначим "Г" – герб, "Р" – решка.

Перечислим все возможные исходы:

ГГГ
ГГР
ГРГ
РГГ
ГРР
РГР
РРГ
РРР

Общее число исходов $n = 8$.

Нас интересует событие "выпадут ровно два герба". Найдем исходы, благоприятствующие этому событию:

ГГР
ГРГ
РГГ

Число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$.

Подставим наши значения: $P = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

31.8. Для экзамена подготовлены билеты с номерами от 1 до 25.

Какова вероятность того, что взятый учащимся билет наугад имеет:

1) однозначный номер;

2) двузначный номер?

По условию задачи, всего подготовлено 25 билетов с номерами от 1 до 25. Следовательно, общее число равновозможных исходов при вытягивании одного билета равно 25. Обозначим это число как $n = 25$.

1) однозначный номер;

Событие A consiste в том, что у взятого билета однозначный номер. Благоприятными исходами для этого события являются билеты с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Количество таких билетов (число благоприятных исходов) равно 9. Обозначим это число как $m = 9$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{9}{25}$

Чтобы выразить эту вероятность в виде десятичной дроби, можно умножить числитель и знаменатель на 4:

$\frac{9}{25} = \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{36}{100} = 0,36$

Ответ: $\frac{9}{25}$

2) двузначный номер?

Событие B состоит в том, что у взятого билета двузначный номер. Благоприятными исходами для этого события являются билеты с номерами от 10 до 25 включительно.

Количество таких билетов можно посчитать как разность между общим количеством билетов и количеством билетов с однозначными номерами:

$m = 25 - 9 = 16$

Либо можно посчитать напрямую: количество чисел в диапазоне от 10 до 25 равно $(25 - 10) + 1 = 16$.

Итак, число благоприятных исходов $m = 16$.

Вероятность события B вычисляется по формуле:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{16}{25}$

Чтобы выразить эту вероятность в виде десятичной дроби:

$\frac{16}{25} = \frac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 0,64$

Ответ: $\frac{16}{25}$