Страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.12. Запишите шесть первых членов числовой последовательности, заданной рекуррентно:

1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 4;$

2) $a_1 = 4, a_{n+1} = 3a_n - 1;$

3) $a_1 = 5, a_{n+1} = 2a_n - 4;$

4) $a_1 = 88, a_{n+1} = 0.5 \cdot a_n.$

1) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 3$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = a_n + 4$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 3$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в рекуррентную формулу:

$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$.

Аналогично находим остальные члены:

Третий член ($n=2$): $a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = a_4 + 4 = 15 + 4 = 19$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = a_5 + 4 = 19 + 4 = 23$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 3, 7, 11, 15, 19, 23.

Ответ: 3, 7, 11, 15, 19, 23.

2) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 4$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 3a_n - 1$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 4$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 3a_1 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 12 - 1 = 11$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 3a_2 - 1 = 3 \cdot 11 - 1 = 33 - 1 = 32$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 3a_3 - 1 = 3 \cdot 32 - 1 = 96 - 1 = 95$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 3a_4 - 1 = 3 \cdot 95 - 1 = 285 - 1 = 284$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 3a_5 - 1 = 3 \cdot 284 - 1 = 852 - 1 = 851$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 4, 11, 32, 95, 284, 851.

Ответ: 4, 11, 32, 95, 284, 851.

3) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 5$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 2a_n - 4$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 5$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 2a_1 - 4 = 2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 2a_2 - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 12 - 4 = 8$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 2a_3 - 4 = 2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 2a_4 - 4 = 2 \cdot 12 - 4 = 24 - 4 = 20$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 2a_5 - 4 = 2 \cdot 20 - 4 = 40 - 4 = 36$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 5, 6, 8, 12, 20, 36.

Ответ: 5, 6, 8, 12, 20, 36.

4) Дана последовательность, заданная рекуррентно: первый член $a_1 = 88$ и формула для нахождения $(n+1)$-го члена $a_{n+1} = 0,5 \cdot a_n$. Необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первый член нам известен: $a_1 = 88$.

Последовательно вычисляем следующие члены:

Второй член ($n=1$): $a_2 = 0,5 \cdot a_1 = 0,5 \cdot 88 = 44$.

Третий член ($n=2$): $a_3 = 0,5 \cdot a_2 = 0,5 \cdot 44 = 22$.

Четвертый член ($n=3$): $a_4 = 0,5 \cdot a_3 = 0,5 \cdot 22 = 11$.

Пятый член ($n=4$): $a_5 = 0,5 \cdot a_4 = 0,5 \cdot 11 = 5,5$.

Шестой член ($n=5$): $a_6 = 0,5 \cdot a_5 = 0,5 \cdot 5,5 = 2,75$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 88, 44, 22, 11, 5,5, 2,75.

Ответ: 88, 44, 22, 11, 5,5, 2,75.

12.13. Докажите, что последовательность $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ не является монотонной.

Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей (то есть $a_{n+1} \ge a_n$ для всех $n$), либо невозрастающей (то есть $a_{n+1} \le a_n$ для всех $n$).

Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{2n + 1}$ не является монотонной, достаточно найти хотя бы один пример возрастания и один пример убывания ее членов. Для этого вычислим значения первых трех членов последовательности.

При $n=1$:
$a_1 = \frac{2(1) + (-1)^1}{2(1) + 1} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$

При $n=2$:
$a_2 = \frac{2(2) + (-1)^2}{2(2) + 1} = \frac{4 + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1$

При $n=3$:
$a_3 = \frac{2(3) + (-1)^3}{2(3) + 1} = \frac{6 - 1}{7} = \frac{5}{7}$

Теперь сравним полученные значения.

Сравним $a_1$ и $a_2$:
$a_1 = \frac{1}{3}$ и $a_2 = 1$.
Так как $1 > \frac{1}{3}$, то имеем $a_2 > a_1$. Это означает, что последовательность возрастает на переходе от $n=1$ к $n=2$.

Сравним $a_2$ и $a_3$:
$a_2 = 1$ и $a_3 = \frac{5}{7}$.
Так как $1 > \frac{5}{7}$, то имеем $a_2 > a_3$. Это означает, что последовательность убывает на переходе от $n=2$ к $n=3$.

Поскольку последовательность и возрастает ($a_1 < a_2$), и убывает ($a_2 > a_3$), она не является ни неубывающей, ни невозрастающей. Следовательно, последовательность не является монотонной.

Ответ: Так как $a_1 = \frac{1}{3}$, $a_2 = 1$ и $a_3 = \frac{5}{7}$, выполняются неравенства $a_1 < a_2$ и $a_2 > a_3$. Это доказывает, что последовательность не является монотонной.

12.14. Выпишите первые шесть членов числовой последовательности, заданной рекуррентно:

1) $c_1 = 1$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$;

2) $c_1 = 2$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = 3c_{n+1} - 2c_n$;

3) $c_1 = -2$, $c_2 = 1$, $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$;

4) $c_1 = 4$, $c_2 = 7$, $c_{n+2} = c_{n+1} - 2c_n$.

1)

Дана числовая последовательность, в которой первые два члена равны $c_1 = 1$ и $c_2 = 3$, а каждый последующий член, начиная с третьего, вычисляется по рекуррентной формуле $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$.

Нам необходимо найти первые шесть членов этой последовательности.

Первые два члена уже известны: $c_1 = 1$, $c_2 = 3$.

Вычислим третий член ($c_3$), подставив в формулу $n=1$:

$c_3 = 2c_2 - c_1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Вычислим четвертый член ($c_4$), подставив в формулу $n=2$:

$c_4 = 2c_3 - c_2 = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$.

Вычислим пятый член ($c_5$), подставив в формулу $n=3$:

$c_5 = 2c_4 - c_3 = 2 \cdot 7 - 5 = 14 - 5 = 9$.

Вычислим шестой член ($c_6$), подставив в формулу $n=4$:

$c_6 = 2c_5 - c_4 = 2 \cdot 9 - 7 = 18 - 7 = 11$.

Таким образом, первые шесть членов последовательности: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

2)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = 2$, $c_2 = 3$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = 3c_{n+1} - 2c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = 2$, $c_2 = 3$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = 3c_2 - 2c_1 = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$.

При $n=2$: $c_4 = 3c_3 - 2c_2 = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 = 15 - 6 = 9$.

При $n=3$: $c_5 = 3c_4 - 2c_3 = 3 \cdot 9 - 2 \cdot 5 = 27 - 10 = 17$.

При $n=4$: $c_6 = 3c_5 - 2c_4 = 3 \cdot 17 - 2 \cdot 9 = 51 - 18 = 33$.

Первые шесть членов последовательности: 2, 3, 5, 9, 17, 33.

Ответ: 2, 3, 5, 9, 17, 33.

3)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = -2$, $c_2 = 1$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = 2c_{n+1} - c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = -2$, $c_2 = 1$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = 2c_2 - c_1 = 2 \cdot 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

При $n=2$: $c_4 = 2c_3 - c_2 = 2 \cdot 4 - 1 = 8 - 1 = 7$.

При $n=3$: $c_5 = 2c_4 - c_3 = 2 \cdot 7 - 4 = 14 - 4 = 10$.

При $n=4$: $c_6 = 2c_5 - c_4 = 2 \cdot 10 - 7 = 20 - 7 = 13$.

Первые шесть членов последовательности: -2, 1, 4, 7, 10, 13.

Ответ: -2, 1, 4, 7, 10, 13.

4)

Дана числовая последовательность, в которой $c_1 = 4$, $c_2 = 7$ и рекуррентная формула $c_{n+2} = c_{n+1} - 2c_n$.

Первые два члена известны: $c_1 = 4$, $c_2 = 7$.

Вычислим последующие члены:

При $n=1$: $c_3 = c_2 - 2c_1 = 7 - 2 \cdot 4 = 7 - 8 = -1$.

При $n=2$: $c_4 = c_3 - 2c_2 = -1 - 2 \cdot 7 = -1 - 14 = -15$.

При $n=3$: $c_5 = c_4 - 2c_3 = -15 - 2 \cdot (-1) = -15 + 2 = -13$.

При $n=4$: $c_6 = c_5 - 2c_4 = -13 - 2 \cdot (-15) = -13 + 30 = 17$.

Первые шесть членов последовательности: 4, 7, -1, -15, -13, 17.

Ответ: 4, 7, -1, -15, -13, 17.

12.15. Докажите, что является убывающей числовая последовательность $(a_n)$, заданная формулой:

1) $a_n = 302 - 53n$;

2) $a_n = -5n^2 + 3n - 2$;

3) $a_n = -9n^2 + 10n + 25$;

4) $a_n = \frac{n - 5}{n - 2}$;

5) $a_n = \frac{2n + 5}{n + 1}$;

6) $a_n = \frac{4n + 15}{n - 3}$.

Чтобы доказать, что числовая последовательность $(a_n)$ является убывающей, необходимо показать, что для любого натурального $n$ (из области определения последовательности) выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$. Это равносильно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна.

1) Найдем разность $a_{n+1} - a_n$ для последовательности $a_n = 302 - 53n$. Сначала выразим $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 302 - 53(n+1) = 302 - 53n - 53 = 249 - 53n$. Теперь вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (249 - 53n) - (302 - 53n) = 249 - 53n - 302 + 53n = -53$. Так как разность $a_{n+1} - a_n = -53$ является постоянным отрицательным числом при любом натуральном $n$, то последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -53 < 0$.

2) Рассмотрим последовательность $a_n = -5n^2 + 3n - 2$. Найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = -5(n+1)^2 + 3(n+1) - 2 = -5(n^2 + 2n + 1) + 3n + 3 - 2 = -5n^2 - 10n - 5 + 3n + 1 = -5n^2 - 7n - 4$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (-5n^2 - 7n - 4) - (-5n^2 + 3n - 2) = -5n^2 - 7n - 4 + 5n^2 - 3n + 2 = -10n - 2$. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $-10n \le -10$, и разность $a_{n+1} - a_n = -10n - 2 \le -12$, что всегда меньше нуля. Значит, последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -10n - 2 < 0$ для всех натуральных $n$.

3) Для последовательности $a_n = -9n^2 + 10n + 25$ найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = -9(n+1)^2 + 10(n+1) + 25 = -9(n^2 + 2n + 1) + 10n + 10 + 25 = -9n^2 - 18n - 9 + 10n + 35 = -9n^2 - 8n + 26$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = (-9n^2 - 8n + 26) - (-9n^2 + 10n + 25) = -9n^2 - 8n + 26 + 9n^2 - 10n - 25 = -18n + 1$. Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $18n \ge 18$, а $-18n \le -18$. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 \le -18 + 1 = -17 < 0$. Последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 < 0$ для всех натуральных $n$.

4) Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n-5}{n-2}$. Эта последовательность определена для всех натуральных $n$, кроме $n=2$. Найдем разность $a_{n+1} - a_n$. $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{(n+1)-5}{(n+1)-2} = \frac{n-4}{n-1}$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{n-4}{n-1} - \frac{n-5}{n-2} = \frac{(n-4)(n-2) - (n-5)(n-1)}{(n-1)(n-2)} = \frac{(n^2 - 6n + 8) - (n^2 - 6n + 5)}{(n-1)(n-2)} = \frac{3}{(n-1)(n-2)}$. Для того чтобы последовательность была убывающей, эта разность должна быть отрицательной. Однако, при $n \ge 3$ оба множителя в знаменателе, $(n-1)$ и $(n-2)$, положительны. Значит, знаменатель $(n-1)(n-2)$ положителен. Числитель равен 3, что также положительно. Таким образом, при $n \ge 3$ разность $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность является возрастающей. В условии задачи, вероятно, допущена ошибка. Ответ: Доказательство невозможно, так как последовательность является возрастающей для $n \ge 3$, поскольку $a_{n+1} - a_n = \frac{3}{(n-1)(n-2)} > 0$ для $n \ge 3$.

5) Для последовательности $a_n = \frac{2n+5}{n+1}$ найдем $(n+1)$-й член: $a_{n+1} = \frac{2(n+1)+5}{(n+1)+1} = \frac{2n+7}{n+2}$. Вычислим разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{2n+7}{n+2} - \frac{2n+5}{n+1} = \frac{(2n+7)(n+1) - (2n+5)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(2n^2+9n+7) - (2n^2+9n+10)}{(n+2)(n+1)} = \frac{-3}{(n+2)(n+1)}$. Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то множители $(n+2)$ и $(n+1)$ положительны, а значит и их произведение в знаменателе положительно. Числитель равен -3, он отрицателен. Следовательно, разность $a_{n+1} - a_n$ отрицательна для любого натурального $n$. Последовательность является убывающей. Ответ: Доказано, так как $a_{n+1} - a_n = \frac{-3}{(n+2)(n+1)} < 0$ для всех натуральных $n$.

6) Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{4n+15}{n-3}$. Данная последовательность определена для всех натуральных $n$, кроме $n=3$. Чтобы доказать, что она является убывающей, нужно показать, что $a_{n+1} < a_n$ для всех $n$, для которых оба члена определены. Найдем разность: $a_{n+1} - a_n = \frac{4(n+1)+15}{(n+1)-3} - \frac{4n+15}{n-3} = \frac{4n+19}{n-2} - \frac{4n+15}{n-3} = \frac{(4n+19)(n-3) - (4n+15)(n-2)}{(n-2)(n-3)} = \frac{(4n^2+7n-57) - (4n^2+7n-30)}{(n-2)(n-3)} = \frac{-27}{(n-2)(n-3)}$. Знак этой разности зависит от знака знаменателя $(n-2)(n-3)$. При $n \ge 4$ оба множителя $(n-2)$ и $(n-3)$ положительны, значит, знаменатель положителен, а вся дробь отрицательна. Это означает, что последовательность убывает при $n \ge 4$. Однако, если рассмотреть всю область определения, последовательность не является убывающей, так как $a_2 = -23$, а $a_4 = 31$, то есть $a_4 > a_2$. Вероятно, в задаче подразумевается рассмотрение поведения последовательности при $n \ge 4$. Ответ: Доказано, что последовательность является убывающей для $n \ge 4$, так как $a_{n+1} - a_n = \frac{-27}{(n-2)(n-3)} < 0$ для $n \ge 4$.

12.16. Докажите, что является возрастающей числовая последовательность ($a_n$), заданная формулой:

1) $a_n = 30n - 2;$

2) $a_n = n^2 + 2n - 2;$

3) $a_n = 9n^2 + 4n - 5;$

4) $a_n = \frac{n+1}{n+2};$

5) $a_n = \frac{2n-1}{n+1};$

6) $a_n = \frac{4n+3}{n+3}.$

Для того чтобы доказать, что числовая последовательность $(a_n)$ является возрастающей, необходимо показать, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n$ положительна.

1) Дана последовательность $a_n = 30n - 2$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 30(n+1) - 2 = 30n + 30 - 2 = 30n + 28$.
Теперь вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (30n + 28) - (30n - 2) = 30n + 28 - 30n + 2 = 30$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 30$ и $30 > 0$, то неравенство $a_{n+1} > a_n$ выполняется для любого натурального $n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

2) Дана последовательность $a_n = n^2 + 2n - 2$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 2 = (n^2 + 2n + 1) + (2n + 2) - 2 = n^2 + 4n + 1$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (n^2 + 4n + 1) - (n^2 + 2n - 2) = n^2 + 4n + 1 - n^2 - 2n + 2 = 2n + 3$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Тогда $2n \ge 2$, и $2n + 3 \ge 5$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 2n + 3 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

3) Дана последовательность $a_n = 9n^2 + 4n - 5$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 9(n+1)^2 + 4(n+1) - 5 = 9(n^2 + 2n + 1) + 4n + 4 - 5 = 9n^2 + 18n + 9 + 4n - 1 = 9n^2 + 22n + 8$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = (9n^2 + 22n + 8) - (9n^2 + 4n - 5) = 9n^2 + 22n + 8 - 9n^2 - 4n + 5 = 18n + 13$.
Поскольку $n \ge 1$, то $18n \ge 18$, и $18n + 13 \ge 31$.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = 18n + 13 > 0$ для любого натурального $n$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

4) Дана последовательность $a_n = \frac{n+1}{n+2}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{n+2}{n+3}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)(n+2) - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+2$ и $n+3$ положительны, следовательно, их произведение $(n+2)(n+3)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+2)(n+3)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

5) Дана последовательность $a_n = \frac{2n-1}{n+1}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{2n+2-1}{n+2} = \frac{2n+1}{n+2}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{2n+1}{n+2} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{(2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(2n^2+3n+1) - (2n^2+3n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3}{(n+2)(n+1)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+1$ и $n+2$ положительны, следовательно, их произведение $(n+1)(n+2)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{3}{(n+1)(n+2)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

6) Дана последовательность $a_n = \frac{4n+3}{n+3}$.
Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{4(n+1)+3}{(n+1)+3} = \frac{4n+4+3}{n+4} = \frac{4n+7}{n+4}$.
Вычислим разность $a_{n+1} - a_n$:
$a_{n+1} - a_n = \frac{4n+7}{n+4} - \frac{4n+3}{n+3} = \frac{(4n+7)(n+3) - (4n+3)(n+4)}{(n+4)(n+3)} = \frac{(4n^2+12n+7n+21) - (4n^2+16n+3n+12)}{(n+4)(n+3)} = \frac{4n^2+19n+21 - (4n^2+19n+12)}{(n+4)(n+3)} = \frac{9}{(n+4)(n+3)}$.
Для любого натурального $n$, выражения $n+3$ и $n+4$ положительны, следовательно, их произведение $(n+3)(n+4)$ также положительно.
Так как разность $a_{n+1} - a_n = \frac{9}{(n+3)(n+4)} > 0$, последовательность является возрастающей.
Ответ: последовательность является возрастающей.

12.17. Найдите наименьший член числовой последовательности, за-

данной формулой n-го члена:

1) $a_n = n^2 - 12n;$

2) $a_n = n^2 - 13n + 2;$

3) $a_n = 2n^2 + 5n - 3.$

1) Чтобы найти наименьший член последовательности $a_n = n^2 - 12n$, рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $f(n) = n^2 - 12n$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, функция имеет точку минимума в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси абсцисс (в нашем случае по оси $n$) находится по формуле $n_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1$, $b=-12$.

$n_v = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$.

Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, а полученное значение $n_v = 6$ является натуральным числом, то наименьшее значение последовательность принимает при $n=6$.

Вычислим этот член последовательности: $a_6 = 6^2 - 12 \cdot 6 = 36 - 72 = -36$.
Ответ: -36

2) Рассмотрим последовательность $a_n = n^2 - 13n + 2$. Соответствующая квадратичная функция $f(n) = n^2 - 13n + 2$ представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=1 > 0$), поэтому она имеет минимум в вершине.

Найдем координату вершины: $n_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-13}{2 \cdot 1} = \frac{13}{2} = 6.5$.

Полученное значение $n_v = 6.5$ не является натуральным числом. Наименьшее значение последовательности будет достигаться при одном из двух ближайших к $6.5$ натуральных чисел, то есть при $n=6$ или $n=7$.

Вычислим значения последовательности для этих номеров:

$a_6 = 6^2 - 13 \cdot 6 + 2 = 36 - 78 + 2 = -40$.

$a_7 = 7^2 - 13 \cdot 7 + 2 = 49 - 91 + 2 = -40$.

Оба значения равны, и это наименьшее значение в последовательности.
Ответ: -40

3) Рассмотрим последовательность $a_n = 2n^2 + 5n - 3$. Соответствующая квадратичная функция $f(n) = 2n^2 + 5n - 3$ представляет собой параболу с ветвями вверх ($a=2 > 0$), поэтому она имеет минимум в вершине.

Найдем координату вершины: $n_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$.

Вершина параболы находится в точке $n_v = -1.25$. Так как $n$ — это номер члена последовательности и должно быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$), а все натуральные числа больше $-1.25$, то на множестве натуральных чисел функция $f(n)$ будет возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение последовательность принимает при наименьшем возможном натуральном $n$, то есть при $n=1$.

Вычислим этот член последовательности: $a_1 = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4$.
Ответ: 4

12.18. Найдите, если возможно, наименьший и наибольший член числовой последовательности:

1) $c_n = -\frac{1}{2} \cdot 3^n$;

2) $c_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \cdot 5$;

3) $c_n = -n^2 + 7$;

4) $c_n = n^2 + 7n$.

1) Последовательность задана формулой $c_n = -\frac{1}{2} \cdot 3^n$. Это геометрическая прогрессия, у которой знаменатель $q=3 > 1$. Так как основание степени $3^n$ больше единицы, эта часть возрастает с ростом $n$. Умножение на отрицательный коэффициент $-\frac{1}{2}$ делает всю последовательность $c_n$ строго убывающей. Её наибольшим членом будет первый член, $c_1 = -\frac{1}{2} \cdot 3^1 = -1.5$. Поскольку последовательность неограниченно убывает при $n \to \infty$, наименьшего члена у неё не существует. Ответ: наибольший член $c_1 = -1.5$, наименьшего члена не существует.

2) Последовательность задана формулой $c_n = (-\frac{1}{2})^n \cdot 5$. Это знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -\frac{1}{2}$. Вычислим несколько первых членов: $c_1 = (-\frac{1}{2}) \cdot 5 = -2.5$; $c_2 = (\frac{1}{4}) \cdot 5 = 1.25$; $c_3 = (-\frac{1}{8}) \cdot 5 = -0.625$; $c_4 = (\frac{1}{16}) \cdot 5 = 0.3125$. Так как $|q| < 1$, члены последовательности по модулю стремятся к нулю. Положительные члены (с четными номерами $n$) образуют убывающую подпоследовательность $1.25, 0.3125, \dots$, её наибольший член - $c_2 = 1.25$. Отрицательные члены (с нечетными номерами $n$) образуют возрастающую подпоследовательность $-2.5, -0.625, \dots$, её наименьший член - $c_1 = -2.5$. Следовательно, $c_2$ является наибольшим членом всей последовательности, а $c_1$ - наименьшим. Ответ: наименьший член $c_1 = -2.5$, наибольший член $c_2 = 1.25$.

3) Последовательность задана формулой $c_n = -n^2 + 7$. Рассмотрим функцию $f(x)=-x^2+7$. Её график — парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $x=0$. Для натуральных $n \ge 1$ значения функции, а значит и члены последовательности, строго убывают. Первый член $c_1 = -1^2+7=6$ будет наибольшим. Так как при $n \to \infty$ члены последовательности стремятся к $-\infty$, она не ограничена снизу, и наименьшего члена не существует. Ответ: наибольший член $c_1 = 6$, наименьшего члена не существует.

4) Последовательность задана формулой $c_n = n^2 + 7n$. Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+7x$. Её график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $x = -3.5$. Для натуральных $n \ge 1$, которые находятся правее вершины, значения функции, а значит и члены последовательности, строго возрастают. Первый член $c_1 = 1^2+7(1)=8$ будет наименьшим. Так как при $n \to \infty$ члены последовательности стремятся к $+\infty$, она не ограничена сверху, и наибольшего члена не существует. Ответ: наименьший член $c_1 = 8$, наибольшего члена не существует.

1. Может ли частота события быть:

1) отрицательным числом;

2) числом, которое больше $2$?

2. Какова вероятность события:

1) достоверного;

2) невозможного;

3) равновозможного из двух?

1. Может ли частота события быть:

1) отрицательным числом;
Частота (или относительная частота) случайного события определяется как отношение числа испытаний, в которых это событие наступило ($N(A)$), к общему числу проведённых испытаний ($N$). Формула для частоты: $W(A) = \frac{N(A)}{N}$. Поскольку число наступлений события $N(A)$ и общее число испытаний $N$ являются неотрицательными величинами (где $N(A) \ge 0$ и $N > 0$), их отношение не может быть отрицательным числом.
Ответ: Нет, не может.

2) числом, которое больше 2?
Исходя из определения частоты $W(A) = \frac{N(A)}{N}$, следует учесть, что число наступлений события $N(A)$ не может превышать общее число испытаний $N$. То есть, всегда выполняется неравенство $0 \le N(A) \le N$. Если разделить все части этого неравенства на положительное число $N$, получим: $\frac{0}{N} \le \frac{N(A)}{N} \le \frac{N}{N}$, что равносильно $0 \le W(A) \le 1$. Таким образом, частота события всегда является числом в диапазоне от 0 до 1 включительно и, следовательно, не может быть больше 2.
Ответ: Нет, не может.

2. Какова вероятность события:

1) достоверного;
Достоверным событием называется событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Вероятность такого события по определению равна 1.
Ответ: 1.

2) невозможного;
Невозможным событием называется событие, которое в результате испытания заведомо не может произойти. Вероятность такого события по определению равна 0.
Ответ: 0.

3) равновозможного из двух?
Если в испытании есть только два равновозможных исхода, которые образуют полную группу событий (т.е. другие исходы невозможны), то сумма их вероятностей равна 1. Пусть $p$ — вероятность наступления каждого из этих событий. Поскольку события равновозможны, их вероятности равны. Тогда $p + p = 1$, откуда $2p = 1$, и $p = \frac{1}{2}$. Классическим примером является подбрасывание симметричной монеты: вероятность выпадения "орла" равна $\frac{1}{2}$, и вероятность выпадения "решки" также равна $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

31.1. При бросании игрального кубика выпадает одна из цифр от 1 до 6. Найдите вероятность события:

1) выпадет цифра 2;

2) выпадет цифра 1 или 2;

3) выпадет цифра 4 или 6;

4) выпадет нечетная цифра.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $m$ к общему числу равновозможных исходов $n$. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

При бросании стандартного игрального кубика есть 6 равновозможных исходов, так как на его гранях нанесены числа от 1 до 6. Следовательно, общее число исходов $n = 6$.

1) выпадет цифра 2;

Событию "выпадет цифра 2" благоприятствует только один исход — когда на верхней грани кубика оказывается цифра 2. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) выпадет цифра 1 или 2;

Событию "выпадет цифра 1 или 2" благоприятствуют два исхода: выпадение 1 или выпадение 2. Значит, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) выпадет цифра 4 или 6;

Событию "выпадет цифра 4 или 6" благоприятствуют два исхода: выпадение 4 или выпадение 6. Значит, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

4) выпадет нечетная цифра.

На гранях кубика есть три нечетные цифры: 1, 3, 5. Событию "выпадет нечетная цифра" благоприятствуют три исхода. Значит, число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность этого события: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

31.2. a) В урне 2 белых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется: 1) белый; 2) красный; 3) зеленый.

б) В урне 4 красных и 7 синих шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется: 1) красный; 2) не белый; 3) синий.

а)

В урне находятся 2 белых и 5 красных шаров. Общее количество шаров в урне (общее число равновозможных исходов) равно $n = 2 + 5 = 7$. Вероятность события вычисляется по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

1) белый
Число благоприятных исходов (количество белых шаров) равно $m = 2$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, равна:$P(\text{белый}) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$

2) красный
Число благоприятных исходов (количество красных шаров) равно $m = 5$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется красным, равна:$P(\text{красный}) = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$

3) зеленый
В урне нет зеленых шаров, поэтому число благоприятных исходов для этого события равно $m = 0$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется зеленым (невозможное событие), равна:$P(\text{зеленый}) = \frac{0}{7} = 0$.
Ответ: $0$

б)

В урне находятся 4 красных и 7 синих шаров. Общее количество шаров в урне (общее число равновозможных исходов) равно $n = 4 + 7 = 11$.

1) красный
Число благоприятных исходов (количество красных шаров) равно $m = 4$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется красным, равна:$P(\text{красный}) = \frac{4}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{11}$

2) не белый
В урне содержатся только красные и синие шары, белых шаров нет. Это означает, что любой извлеченный шар будет "не белым". Число благоприятных исходов равно общему числу шаров: $m = 11$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется не белым (достоверное событие), равна:$P(\text{не белый}) = \frac{11}{11} = 1$.
Ответ: $1$

3) синий
Число благоприятных исходов (количество синих шаров) равно $m = 7$.Вероятность того, что извлеченный шар окажется синим, равна:$P(\text{синий}) = \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{7}{11}$

31.3. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим события А, В и С. Событие А: “выпавшее на верхней грани число очков делится на 12”, В: “выпавшее на верхней грани число очков равно 2”, С: “выпавшее на верхней грани число очков делится на 2”. Объясните, какое утверждение верно, а какое нет:

1) $P(A) = 1$;

2) $P(A) = 0$;

3) $P(C) = 0,5$;

4) $P(\overline{B}) = \frac{5}{6}$;

5) $P(B) = \frac{1}{6}$.

В данном испытании (подбрасывание игральной кости) существует 6 равновероятных исходов: выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Общее число всех возможных исходов $n=6$.

Рассмотрим каждое утверждение по отдельности, чтобы определить его истинность.

1) P(A) = 1;

Событие A: «выпавшее на верхней грани число очков делится на 12». Среди возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} нет ни одного числа, которое делится на 12. Следовательно, число благоприятных исходов для события A равно $m_A = 0$. Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{0}{6} = 0$. Событие A является невозможным. Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию, которое происходит при любом исходе испытания. Таким образом, утверждение $P(A) = 1$ неверно.
Ответ: неверно.

2) P(A) = 0;

Как было показано в предыдущем пункте, число благоприятных исходов для события A (выпадение числа, делящегося на 12) равно $m_A = 0$. Вероятность события A равна $P(A) = \frac{0}{6} = 0$. Утверждение $P(A) = 0$ верно, так как событие A является невозможным.
Ответ: верно.

3) P(C) = 0,5;

Событие C: «выпавшее на верхней грани число очков делится на 2». Это означает, что должно выпасть четное число. Благоприятными исходами для события C являются {2, 4, 6}. Число благоприятных исходов $m_C = 3$. Вероятность события C равна $P(C) = \frac{m_C}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$. Утверждение $P(C) = 0,5$ верно.
Ответ: верно.

4) P($\bar{B}$) = $\frac{5}{6}$;

Событие B: «выпавшее на верхней грани число очков равно 2». Событие $\bar{B}$ является противоположным событию B, то есть «выпавшее на верхней грани число очков не равно 2». Вероятность события B: существует только один благоприятный исход {2} из шести возможных, поэтому $P(B) = \frac{1}{6}$. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$. Следовательно, $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Также можно напрямую посчитать число благоприятных исходов для события $\bar{B}$: {1, 3, 4, 5, 6}, их 5. Тогда $P(\bar{B}) = \frac{5}{6}$. Утверждение $P(\bar{B}) = \frac{5}{6}$ верно.
Ответ: верно.

5) P(B) = $\frac{1}{6}$.

Событие B: «выпавшее на верхней грани число очков равно 2». Существует только один благоприятный исход для этого события — выпадение числа 2. Число благоприятных исходов $m_B = 1$. Общее число исходов $n=6$. Вероятность события B равна $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{1}{6}$. Утверждение $P(B) = \frac{1}{6}$ верно.
Ответ: верно.