Страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

12.25. Решите уравнение:

1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0;$

2) $3x^3 - 2x^2 - 27x + 18 = 0;$

3) $x^4 - 3x^2 - 18 = 0;$

4) $x^4 - 6x^2 - 27 = 0.$

1) $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0$

Решим уравнение методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 2x^2) + (-9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 - 9) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 9$ является разностью квадратов и может быть разложено на множители $(x - 3)(x + 3)$:

$(x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; 2; 3$.

2) $3x^3 - 2x^2 - 27x + 18 = 0$

Решим это уравнение также методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(3x^3 - 2x^2) + (-27x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(3x - 2) - 9(3x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 2)$ за скобки:

$(3x - 2)(x^2 - 9) = 0$

Разложим разность квадратов $x^2 - 9$ на множители:

$(3x - 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x_1 = \frac{2}{3}$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{2}{3}; 3$.

3) $x^4 - 3x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 3y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-18$, а их сумма равна $3$. Корнями являются $y_1 = 6$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. $y_1 = 6$. Так как $y_1 \ge 0$, этот корень подходит.

$x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$

2. $y_2 = -3$. Так как $y_2 < 0$, этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и не дает действительных решений для $x$.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^4 - 6x^2 - 27 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-27$, а их сумма равна $6$. Корнями являются $y_1 = 9$ и $y_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

1. $y_1 = 9$. Корень удовлетворяет условию $y \ge 0$.

$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm\sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3$

2. $y_2 = -3$. Корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому действительных решений для $x$ в этом случае нет.

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-3; 3$.

12.26. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 45, \\ y - 2x = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y + xy = -5, \\ x + 2y = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 45, \\ y - 2x = 0. \end{cases}$
Это система, состоящая из одного нелинейного и одного линейного уравнения. Для ее решения удобно использовать метод подстановки.
Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y - 2x = 0 \Rightarrow y = 2x$.
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + (2x)^2 = 45$
$x^2 + 4x^2 = 45$
$5x^2 = 45$
$x^2 = \frac{45}{5}$
$x^2 = 9$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = 2x$:
При $x_1 = 3$, $y_1 = 2 \cdot 3 = 6$. Первое решение: $(3, 6)$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = 2 \cdot (-3) = -6$. Второе решение: $(-3, -6)$.
Ответ: $(3, 6)$, $(-3, -6)$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 11, \\ x + 2y = 3. \end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго, линейного, уравнения выразим переменную $x$:
$x = 3 - 2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11$
Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат: $(3 - 2y)^2 = 9 - 12y + 4y^2$.
$3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11$
$27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11$
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $y$:
$14y^2 - 36y + 27 - 11 = 0$
$14y^2 - 36y + 16 = 0$
Для упрощения можно разделить все уравнение на 2:
$7y^2 - 18y + 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$.
$y_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 3 - 2y$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$. Первое решение: $(-1, 2)$.
При $y_2 = \frac{4}{7}$, $x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21}{7} - \frac{8}{7} = \frac{13}{7}$. Второе решение: $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.
Ответ: $(-1, 2)$, $(\frac{13}{7}, \frac{4}{7})$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1, \\ x + 2y = 0. \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = -2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1$
$4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1$
Приведем подобные слагаемые:
$-y^2 = -1$
$y^2 = 1$
Отсюда находим два значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = -2y$:
При $y_1 = 1$, $x_1 = -2 \cdot 1 = -2$. Первое решение: $(-2, 1)$.
При $y_2 = -1$, $x_2 = -2 \cdot (-1) = 2$. Второе решение: $(2, -1)$.
Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y + xy = -5, \\ x + 2y = 4. \end{cases}$
Применим метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 4 - 2y$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(4 - 2y)^2 - y + (4 - 2y)y = -5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(16 - 16y + 4y^2) - y + (4y - 2y^2) = -5$
$16 - 16y + 4y^2 - y + 4y - 2y^2 = -5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4y^2 - 2y^2) + (-16y - y + 4y) + 16 + 5 = 0$
$2y^2 - 13y + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.
$y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя $x = 4 - 2y$:
При $y_1 = \frac{7}{2}$, $x_1 = 4 - 2 \cdot \frac{7}{2} = 4 - 7 = -3$. Первое решение: $(-3, \frac{7}{2})$.
При $y_2 = 3$, $x_2 = 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$. Второе решение: $(-2, 3)$.
Ответ: $(-3, \frac{7}{2})$, $(-2, 3)$.

12.27. Постройте схематически графики уравнений системы и найдите число решений системы:

1)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - x^2 = 3; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y + 2x^2 = 6; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - |x| = 0; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y - |x - 2| = 0. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - x^2 = 3; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y - x^2 = 3$ можно переписать в виде $y = x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, 3).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что окружность и парабола пересекаются в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

2)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ y + 2x^2 = 6; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Второе уравнение $y + 2x^2 = 6$ можно переписать в виде $y = -2x^2 + 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 6).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что вершина параболы (0, 6) лежит на окружности. Кроме этой точки касания, есть еще две точки пересечения. Таким образом, система имеет три решения.

Ответ: 3.

3)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y - |x| = 0; \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 5$.

Второе уравнение $y - |x| = 0$ можно переписать как $y = |x|$. График этой функции представляет собой две линии, исходящие из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$.

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

Графики пересекаются в двух точках в верхней полуплоскости. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

4)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y - |x-2| = 0. \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 2$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{2}$.

Второе уравнение $y - |x-2| = 0$ можно переписать как $y = |x-2|$. График этой функции представляет собой график $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Вершина находится в точке (2, 0).

Построим схематически графики этих уравнений в одной системе координат:

На графике видно, что графики уравнений имеют одну общую точку (касаются в точке (1, 1)). Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

12.28. Упростите выражение:

1) $a^3 c^{-4} \cdot 3a^{-2} c^5;$

2) $12a^5 c^4 : (3a^6 c^5);$

3) $6a^7 c^8 : (8a^3 c^{-4});$

4) $12a^5 c^{-4} : (3a^6 c^2) \cdot \frac{3}{8}ac^4.$

1) Чтобы упростить выражение $a^3 c^{-4} \cdot 3a^{-2} c^5$, нужно перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сгруппируем множители:

$(1 \cdot 3) \cdot (a^3 \cdot a^{-2}) \cdot (c^{-4} \cdot c^5)$

Выполним умножение для каждой группы:

$3 \cdot a^{3+(-2)} \cdot c^{-4+5} = 3 \cdot a^1 \cdot c^1 = 3ac$

Ответ: $3ac$.

2) Чтобы упростить выражение $12a^5 c^4 : (3a^6 c^5)$, нужно разделить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Представим выражение в виде дроби:

$\frac{12a^5 c^4}{3a^6 c^5}$

Разделим коэффициенты и степени по отдельности:

$\frac{12}{3} \cdot \frac{a^5}{a^6} \cdot \frac{c^4}{c^5} = 4 \cdot a^{5-6} \cdot c^{4-5} = 4a^{-1}c^{-1}$

Это выражение также можно записать как $\frac{4}{ac}$.

Ответ: $4a^{-1}c^{-1}$.

3) Упростим выражение $6a^7 c^8 : (8a^3 c^{-4})$.

Представим деление в виде дроби:

$\frac{6a^7 c^8}{8a^3 c^{-4}}$

Разделим коэффициенты, сократив дробь $\frac{6}{8}$ на 2:

$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Разделим степени с основанием $a$:

$a^7 : a^3 = a^{7-3} = a^4$

Разделим степени с основанием $c$:

$c^8 : c^{-4} = c^{8-(-4)} = c^{8+4} = c^{12}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{3}{4}a^4c^{12}$

Ответ: $\frac{3}{4}a^4c^{12}$.

4) Упростим выражение $12a^5 c^{-4} : (3a^6 c^2) \cdot \frac{3}{8}ac^4$. Выполним действия по порядку слева направо.

Сначала выполним деление $12a^5 c^{-4} : (3a^6 c^2)$:

$\frac{12a^5 c^{-4}}{3a^6 c^2} = \frac{12}{3} \cdot a^{5-6} \cdot c^{-4-2} = 4a^{-1}c^{-6}$

Теперь умножим полученный результат на $\frac{3}{8}ac^4$:

$(4a^{-1}c^{-6}) \cdot (\frac{3}{8}ac^4)$

Сгруппируем коэффициенты и степени:

$(4 \cdot \frac{3}{8}) \cdot (a^{-1} \cdot a^1) \cdot (c^{-6} \cdot c^4)$

Вычислим каждую группу:

$4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$a^{-1} \cdot a^1 = a^{-1+1} = a^0 = 1$

$c^{-6} \cdot c^4 = c^{-6+4} = c^{-2}$

Соберем все вместе:

$\frac{3}{2} \cdot 1 \cdot c^{-2} = \frac{3}{2}c^{-2}$

Это выражение также можно записать как $\frac{3}{2c^2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}c^{-2}$.

12.29. Из населенного пункта $A$ в пункт $B$, длина пути по проселочной дороге между которыми $18$ км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт $B$ на $54$ мин раньше, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на $1$ км/ч больше, чем скорость другого.

Пусть $v$ км/ч — скорость более медленного туриста. Тогда скорость более быстрого туриста составляет $(v + 1)$ км/ч.

Расстояние между пунктами А и В равно $S = 18$ км.

Время, которое затратил на путь медленный турист, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь быстрый турист, равно $t_2 = \frac{S}{v+1} = \frac{18}{v+1}$ часов.

Известно, что один турист прибыл в пункт B на 54 минуты раньше другого. Это означает, что разница во времени их движения составляет 54 минуты. Переведем это значение в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:
$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9$ ч.

Так как быстрый турист затратил меньше времени, то разница между временем медленного и быстрого туристов равна $0.9$ часа. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = 0.9$
$\frac{18}{v} - \frac{18}{v + 1} = 0.9$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 1)$:
$\frac{18(v + 1) - 18v}{v(v + 1)} = 0.9$
$\frac{18v + 18 - 18v}{v^2 + v} = 0.9$
$\frac{18}{v^2 + v} = 0.9$

Умножим обе части уравнения на $(v^2 + v)$, учитывая, что скорость $v$ должна быть положительной ($v>0$), поэтому знаменатель не равен нулю.
$18 = 0.9(v^2 + v)$

Разделим обе части на 0.9:
$\frac{18}{0.9} = v^2 + v$
$20 = v^2 + v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + v - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-20$. Корнями являются числа $4$ и $-5$.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 9}{2}$

Уравнение имеет два корня:
$v_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$v_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v = -5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость медленного туриста равна 4 км/ч.

Теперь найдем скорость быстрого туриста:
$v + 1 = 4 + 1 = 5$ км/ч.

Таким образом, скорости туристов равны 4 км/ч и 5 км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 4 км/ч, а скорость другого туриста 5 км/ч.

12.30. Запишите пять первых членов последовательности, у которой каждый следующий член равен предыдущему члену, сложенному с числом 5, если:

1) первый член равен $-13$;

2) первый член равен $11$.

По условию, каждый следующий член последовательности равен предыдущему, сложенному с числом 5. Если обозначить члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, \dots$, то это правило можно записать в виде рекуррентной формулы: $a_{n+1} = a_n + 5$. Это является определением арифметической прогрессии с разностью $d = 5$. Необходимо найти первые пять членов для двух заданных случаев.

1) Первый член равен (–13), то есть $a_1 = -13$.
Вычислим следующие четыре члена последовательности:
Второй член: $a_2 = a_1 + 5 = -13 + 5 = -8$.
Третий член: $a_3 = a_2 + 5 = -8 + 5 = -3$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + 5 = -3 + 5 = 2$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + 5 = 2 + 5 = 7$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: –13, –8, –3, 2, 7.
Ответ: –13, –8, –3, 2, 7.

2) Первый член равен 11, то есть $a_1 = 11$.
Вычислим следующие четыре члена последовательности:
Второй член: $a_2 = a_1 + 5 = 11 + 5 = 16$.
Третий член: $a_3 = a_2 + 5 = 16 + 5 = 21$.
Четвертый член: $a_4 = a_3 + 5 = 21 + 5 = 26$.
Пятый член: $a_5 = a_4 + 5 = 26 + 5 = 31$.
Таким образом, первые пять членов последовательности: 11, 16, 21, 26, 31.
Ответ: 11, 16, 21, 26, 31.

31.9. Случайным образом выбрали двухзначное число. Найдите вероятность того, что оно:

1) оканчивается нулем;

2) состоит из одинаковых цифр;

3) больше 27, но меньше 46;

4) является квадратом целого числа.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = M/N$, где $N$ – общее число всех равновозможных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число всех возможных исходов. Двузначные числа – это целые числа от 10 до 99. Их общее количество равно $N = 99 - 10 + 1 = 90$.

1) оканчивается нулем;

Найдем количество двузначных чисел, которые оканчиваются нулем. Это числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Всего таких чисел 9. Таким образом, число благоприятствующих исходов $M = 9$.Вероятность данного события:$P = M/N = 9/90 = 1/10$.
Ответ: $1/10$.

2) состоит из одинаковых цифр;

Найдем количество двузначных чисел, состоящих из одинаковых цифр. Это числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Всего таких чисел 9. Таким образом, число благоприятствующих исходов $M = 9$.Вероятность данного события:$P = M/N = 9/90 = 1/10$.
Ответ: $1/10$.

3) больше 27, но меньше 46;

Найдем количество двузначных чисел, которые больше 27, но меньше 46. Это целые числа от 28 до 45 включительно. Их количество равно $M = 45 - 28 + 1 = 18$.Вероятность данного события:$P = M/N = 18/90 = 1/5$.
Ответ: $1/5$.

4) является квадратом целого числа.

Найдем количество двузначных чисел, которые являются квадратом целого числа. Перечислим их:$4^2 = 16$
$5^2 = 25$
$6^2 = 36$
$7^2 = 49$
$8^2 = 64$
$9^2 = 81$
Следующий квадрат, $10^2 = 100$, уже является трехзначным числом.Всего таких чисел 6. Таким образом, число благоприятствующих исходов $M = 6$.Вероятность данного события:$P = M/N = 6/90 = 1/15$.
Ответ: $1/15$.

31.10. Найдите частоту события, если:

1) на один из пяти приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш; $\frac{1}{5}$

2) на четыре из 100 приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш; $\frac{4}{100}$

3) из 20 выстрелов получилось шесть попаданий в мишень; $\frac{6}{20}$

4) из 30 дней было 12 солнечных дней. $\frac{12}{30}$

Частота случайного события — это отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу проведенных испытаний. Частоту можно найти по формуле: $W = \frac{m}{n}$, где $m$ — число наступлений события, а $n$ — общее число испытаний.

1) на один из пяти приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;
В данном случае общее число испытаний $n$ (количество приобретенных билетов) равно 5. Число наступлений события $m$ (количество выигрышных билетов) равно 1.
Частота выигрыша составляет: $W = \frac{m}{n} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: $0,2$.

2) на четыре из 100 приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;
Общее число испытаний $n$ (количество приобретенных билетов) равно 100. Число наступлений события $m$ (количество выигрышных билетов) равно 4.
Частота выигрыша составляет: $W = \frac{m}{n} = \frac{4}{100} = 0,04$.
Ответ: $0,04$.

3) из 20 выстрелов получилось шесть попаданий в мишень;
Общее число испытаний $n$ (количество выстрелов) равно 20. Число наступлений события $m$ (количество попаданий в мишень) равно 6.
Частота попадания составляет: $W = \frac{m}{n} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

4) из 30 дней было 12 солнечных дней.
Общее число испытаний $n$ (общее количество дней) равно 30. Число наступлений события $m$ (количество солнечных дней) равно 12.
Частота солнечных дней составляет: $W = \frac{m}{n} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: $0,4$.

31.11. Произведено 160 выстрелов по мишени. Известно, что статистическая вероятность поражения мишени равна 0,3. Найдите число попаданий в мишень.

Статистическая вероятность (или относительная частота) события определяется как отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу произведенных испытаний.

Пусть $N$ — общее число выстрелов, $K$ — число попаданий в мишень, а $P$ — статистическая вероятность поражения мишени.

Формула для статистической вероятности выглядит следующим образом:$P = \frac{K}{N}$

Из условия задачи нам известны следующие значения:
Общее число выстрелов $N = 160$.
Статистическая вероятность поражения мишени $P = 0,3$.

Нам нужно найти число попаданий в мишень, то есть $K$. Для этого выразим $K$ из формулы, умножив обе части на $N$:$K = P \times N$

Подставим известные значения в эту формулу и вычислим $K$:$K = 0,3 \times 160 = 48$

Таким образом, число попаданий в мишень составляет 48.

Ответ: 48

31.12. Дано выражение $\sqrt{n-10}$. Значение переменной $n$ случайно выбирается среди натуральных чисел от 1 до 99. Найдите вероятность того, что значение выражения:

1) не определено;

2) меньше 10;

3) принадлежит отрезку $[1; 6]$.

Всего натуральных чисел от 1 до 99 девяносто девять. Это общее число равновероятных исходов. Обозначим его $N = 99$. Вероятность события A находится по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

1) не определено;

Значение выражения $\sqrt{n-10}$ не определено, если подкоренное выражение отрицательно. Решим неравенство:

$n - 10 < 0$

$n < 10$

Так как $n$ — натуральное число, выбираемое из диапазона от 1 до 99, то этому условию удовлетворяют числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Количество таких чисел (благоприятных исходов) равно $m = 9$.

Вероятность того, что значение выражения не определено, равна:

$P_1 = \frac{m}{N} = \frac{9}{99} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$

2) меньше 10;

Найдем, при каких значениях $n$ значение выражения меньше 10. Составим неравенство:

$\sqrt{n-10} < 10$

Во-первых, выражение должно быть определено, то есть $n-10 \ge 0$, откуда $n \ge 10$. Во-вторых, так как обе части неравенства $\sqrt{n-10} < 10$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$n - 10 < 10^2$

$n - 10 < 100$

$n < 110$

Мы имеем систему условий для $n$: $n$ — натуральное число, $1 \le n \le 99$, и $n \ge 10$, и $n < 110$. Объединяя эти условия, получаем $10 \le n \le 99$.

Количество натуральных чисел в этом диапазоне (число благоприятных исходов) равно: $m = 99 - 10 + 1 = 90$.

Вероятность того, что значение выражения меньше 10, равна:

$P_2 = \frac{m}{N} = \frac{90}{99} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$

3) принадлежит отрезку [1; 6].

Найдем, при каких значениях $n$ значение выражения принадлежит отрезку $[1; 6]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$1 \le \sqrt{n-10} \le 6$

Все части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знаки неравенства:

$1^2 \le n-10 \le 6^2$

$1 \le n-10 \le 36$

Теперь прибавим 10 ко всем частям неравенства, чтобы найти $n$:

$1 + 10 \le n \le 36 + 10$

$11 \le n \le 46$

Все значения $n$ в этом диапазоне входят в исходное множество чисел от 1 до 99. Найдем количество таких чисел (число благоприятных исходов):

$m = 46 - 11 + 1 = 36$.

Вероятность того, что значение выражения принадлежит отрезку $[1; 6]$, равна:

$P_3 = \frac{m}{N} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

31.13.1) Случайным образом выбирается натуральное число из интервала (-1; 6). Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.

2) Случайным образом выбирается целое число из интервала (-2; 6). Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $x^3 - x^2 - 6x = 0$.

3) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

4) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

1) Сначала определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается натуральное число из интервала $(-1; 6)$. Натуральными числами в этом интервале являются $1, 2, 3, 4, 5$. Таким образом, общее число элементарных исходов $N = 5$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это натуральные числа из указанного интервала, которые являются корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$. Решим это уравнение:

$x(x^2 - 5x + 6) = 0$

Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корнями являются $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $0, 2, 3$.

Из этих корней выберем те, которые являются натуральными числами из интервала $(-1; 6)$. Это числа $2$ и $3$. Количество благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

2) Определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается целое число из интервала $(-2; 6)$. Целыми числами в этом интервале являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Общее число элементарных исходов $N = 7$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного интервала, которые являются корнями уравнения $x^3 - x^2 - 6x = 0$. Решим это уравнение:

$x(x^2 - x - 6) = 0$

Первый корень $x_1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются $x_2 = 3$ и $x_3 = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-2, 0, 3$.

Из этих корней выберем те, которые являются целыми числами из интервала $(-2; 6)$. Это числа $0$ и $3$. Количество благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$.

3) Определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается целое число из промежутка $[-1; 10]$. Целыми числами в этом промежутке являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Общее число элементарных исходов $N = 10 - (-1) + 1 = 12$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного промежутка, которые являются решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $-6$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется для $x \in (-1; 6)$.

Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Все они принадлежат промежутку $[-1; 10]$. Количество благоприятных исходов $m = 6$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Определим множество всех возможных исходов. Как и в предыдущем пункте, выбирается целое число из промежутка $[-1; 10]$. Общее число элементарных исходов $N = 12$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного промежутка, которые являются решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$ выполняется для $x \in [-1; 6]$.

Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Все они принадлежат промежутку $[-1; 10]$. Количество благоприятных исходов $m = 6 - (-1) + 1 = 8$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

31.14. Подготовьте сообщение из истории появления теории вероятностей.

История теории вероятностей — это увлекательный путь от интуитивных представлений, связанных с азартными играми, до строгой математической дисциплины, которая сегодня лежит в основе многих наук и технологий. Хотя попытки количественно оценить шансы предпринимались еще в древности и в Средние века, формальное зарождение теории вероятностей как науки принято относить к XVII веку.

Отправной точкой считается 1654 год, когда зародилась переписка между двумя выдающимися французскими математиками — Блезом Паскалем и Пьером де Ферма. Поводом для их исследований послужили вопросы, заданные им известным в то время писателем и азартным игроком Антуаном Гомбо, шевалье де Мере. Одна из задач, известная как «задача о разделе ставки», формулировалась следующим образом: как справедливо разделить денежную ставку между двумя игроками, если их игра (например, до шести выигранных партий) была прервана досрочно при определенном счете? В ходе решения этой и других подобных задач Паскаль и Ферма разработали фундаментальные понятия, такие как математическое ожидание, и применили методы комбинаторики для подсчета возможных исходов. Их идеи систематизировал и опубликовал голландский ученый Христиан Гюйгенс в своем трактате «О расчетах в азартной игре» (1657 г.), который стал первой печатной работой по теории вероятностей.

Следующий значительный шаг был сделан на рубеже XVII–XVIII веков. Швейцарский математик Якоб Бернулли в своем труде «Искусство предположений» (опубликован посмертно в 1713 г.) доказал первую версию закона больших чисел. Этот закон математически обосновывал тот факт, что при многократном повторении эксперимента частота наступления случайного события стремится к его постоянной вероятности. В это же время работали Абрахам де Муавр, который в книге «Учение о случаях» (1718 г.) исследовал нормальное распределение как предел для биномиального, и Пьер-Симон Лаплас, чей монументальный труд «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г.) подвел итог классическому этапу развития теории. Именно Лаплас дал классическое определение вероятности события A как отношение числа благоприятствующих ему исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Лаплас также продемонстрировал широкие возможности применения теории вероятностей в астрономии, теории ошибок измерений и демографии.

В XIX веке большой вклад в развитие теории внесли русские математики. Работы П.Л. Чебышёва, А.А. Маркова и А.М. Ляпунова придали теории вероятностей большую строгость. Они доказали закон больших чисел и центральную предельную теорему в гораздо более общих условиях. Исследования Маркова привели к появлению теории случайных процессов, известных как «цепи Маркова», которые имеют огромное значение в физике, технике, экономике и лингвистике.

Современный этап развития теории вероятностей начался с работ советского математика Андрея Николаевича Колмогорова. В своей книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.) он предложил систему аксиом, основанную на теории множеств и теории меры. Этот подход позволил построить теорию вероятностей как строгую и логически завершенную математическую дисциплину, подобную геометрии или алгебре. Аксиоматика Колмогорова стала общепринятой во всем мире и открыла путь для решения сложнейших задач, связанных с бесконечным числом случайных величин, и применения теории в самых разных областях человеческой деятельности — от квантовой механики и финансов до искусственного интеллекта.

Ответ: Сообщение об истории появления теории вероятностей представлено выше.