Номер 31.12, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.12. Дано выражение $\sqrt{n-10}$. Значение переменной $n$ случайно выбирается среди натуральных чисел от 1 до 99. Найдите вероятность того, что значение выражения:

1) не определено;

2) меньше 10;

3) принадлежит отрезку $[1; 6]$.

Всего натуральных чисел от 1 до 99 девяносто девять. Это общее число равновероятных исходов. Обозначим его $N = 99$. Вероятность события A находится по формуле классической вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

1) не определено;

Значение выражения $\sqrt{n-10}$ не определено, если подкоренное выражение отрицательно. Решим неравенство:

$n - 10 < 0$

$n < 10$

Так как $n$ — натуральное число, выбираемое из диапазона от 1 до 99, то этому условию удовлетворяют числа $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Количество таких чисел (благоприятных исходов) равно $m = 9$.

Вероятность того, что значение выражения не определено, равна:

$P_1 = \frac{m}{N} = \frac{9}{99} = \frac{1}{11}$

Ответ: $\frac{1}{11}$

2) меньше 10;

Найдем, при каких значениях $n$ значение выражения меньше 10. Составим неравенство:

$\sqrt{n-10} < 10$

Во-первых, выражение должно быть определено, то есть $n-10 \ge 0$, откуда $n \ge 10$. Во-вторых, так как обе части неравенства $\sqrt{n-10} < 10$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$n - 10 < 10^2$

$n - 10 < 100$

$n < 110$

Мы имеем систему условий для $n$: $n$ — натуральное число, $1 \le n \le 99$, и $n \ge 10$, и $n < 110$. Объединяя эти условия, получаем $10 \le n \le 99$.

Количество натуральных чисел в этом диапазоне (число благоприятных исходов) равно: $m = 99 - 10 + 1 = 90$.

Вероятность того, что значение выражения меньше 10, равна:

$P_2 = \frac{m}{N} = \frac{90}{99} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$

3) принадлежит отрезку [1; 6].

Найдем, при каких значениях $n$ значение выражения принадлежит отрезку $[1; 6]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$1 \le \sqrt{n-10} \le 6$

Все части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знаки неравенства:

$1^2 \le n-10 \le 6^2$

$1 \le n-10 \le 36$

Теперь прибавим 10 ко всем частям неравенства, чтобы найти $n$:

$1 + 10 \le n \le 36 + 10$

$11 \le n \le 46$

Все значения $n$ в этом диапазоне входят в исходное множество чисел от 1 до 99. Найдем количество таких чисел (число благоприятных исходов):

$m = 46 - 11 + 1 = 36$.

Вероятность того, что значение выражения принадлежит отрезку $[1; 6]$, равна:

$P_3 = \frac{m}{N} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$