Номер 31.13, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.13.1) Случайным образом выбирается натуральное число из интервала (-1; 6). Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$.

2) Случайным образом выбирается целое число из интервала (-2; 6). Найдите вероятность того, что это число является корнем уравнения $x^3 - x^2 - 6x = 0$.

3) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

4) Случайным образом выбирается целое число из промежутка [-1; 10]. Найдите вероятность того, что это число является решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

1) Сначала определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается натуральное число из интервала $(-1; 6)$. Натуральными числами в этом интервале являются $1, 2, 3, 4, 5$. Таким образом, общее число элементарных исходов $N = 5$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это натуральные числа из указанного интервала, которые являются корнями уравнения $x^3 - 5x^2 + 6x = 0$. Решим это уравнение:

$x(x^2 - 5x + 6) = 0$

Отсюда получаем первый корень $x_1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $6$. Корнями являются $x_2 = 2$ и $x_3 = 3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $0, 2, 3$.

Из этих корней выберем те, которые являются натуральными числами из интервала $(-1; 6)$. Это числа $2$ и $3$. Количество благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $\frac{2}{5}$.

2) Определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается целое число из интервала $(-2; 6)$. Целыми числами в этом интервале являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Общее число элементарных исходов $N = 7$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного интервала, которые являются корнями уравнения $x^3 - x^2 - 6x = 0$. Решим это уравнение:

$x(x^2 - x - 6) = 0$

Первый корень $x_1 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Корнями являются $x_2 = 3$ и $x_3 = -2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-2, 0, 3$.

Из этих корней выберем те, которые являются целыми числами из интервала $(-2; 6)$. Это числа $0$ и $3$. Количество благоприятных исходов $m = 2$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$.

3) Определим множество всех возможных исходов. Случайным образом выбирается целое число из промежутка $[-1; 10]$. Целыми числами в этом промежутке являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Общее число элементарных исходов $N = 10 - (-1) + 1 = 12$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного промежутка, которые являются решением неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а произведение равно $-6$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется для $x \in (-1; 6)$.

Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Все они принадлежат промежутку $[-1; 10]$. Количество благоприятных исходов $m = 6$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Определим множество всех возможных исходов. Как и в предыдущем пункте, выбирается целое число из промежутка $[-1; 10]$. Общее число элементарных исходов $N = 12$.

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Это целые числа из указанного промежутка, которые являются решением неравенства $x^2 - 5x - 6 \le 0$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$ выполняется для $x \in [-1; 6]$.

Целыми числами, удовлетворяющими этому условию, являются $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Все они принадлежат промежутку $[-1; 10]$. Количество благоприятных исходов $m = 6 - (-1) + 1 = 8$.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$.

$P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.