Номер 31.16, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.16. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}+\cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2}-4 \cdot \operatorname{ctg} 135^{\circ}}$;

2) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^{\circ}+\sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4}}{5 \cdot \operatorname{tg} \frac{3 \pi}{4}-3 \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

1) $\frac{\text{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg}135^\circ}$

Для решения этой задачи необходимо найти значения тригонометрических функций для заданных углов и подставить их в выражение.

Найдем значения для числителя:

$\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$, поэтому:

$\cos\frac{\pi}{6} = \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем значения для знаменателя:

$\sin\frac{\pi}{2} = \sin90^\circ = 1$

Для нахождения $\text{ctg}135^\circ$ используем формулу приведения: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

$\text{ctg}135^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{ctg}45^\circ = -1$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение.

Числитель: $\text{tg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2\sqrt{3}}{6} + \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$

Знаменатель: $\sin\frac{\pi}{2} - 4 \cdot \text{ctg}135^\circ = 1 - 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{5} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

2) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sin45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}{5 \cdot \text{tg}\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4}}$

Найдем значения тригонометрических функций и подставим их в выражение.

Значения для числителя:

$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$, поэтому:

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значения для знаменателя:

Угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан равен $135^\circ$. Для нахождения $\text{tg}\frac{3\pi}{4}$ используем формулу приведения: $\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$.

$\text{tg}\frac{3\pi}{4} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\frac{\pi}{4} = -1$

$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = \text{ctg}45^\circ = 1$

Подставим все найденные значения в исходное выражение.

Числитель: $\sqrt{2} \cdot \sin45^\circ + \sqrt{2} \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Знаменатель: $5 \cdot \text{tg}\frac{3\pi}{4} - 3 \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 5 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -5 - 3 = -8$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$