Номер 31.21, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31.21. 1) В равносторонний треугольник со стороной 6 см вписан круг. Найдите отношение площади круга к площади треугольника.

2) В квадрат со стороной 8 см вписан круг. Найдите отношение площади круга к площади квадрата.

1) Для нахождения отношения площади круга к площади равностороннего треугольника, в который он вписан, необходимо найти обе площади.
Пусть сторона равностороннего треугольника $a = 6$ см.
Площадь равностороннего треугольника ($S_{треуг}$) вычисляется по формуле:
$S_{треуг} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Подставим значение стороны:
$S_{треуг} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².
Радиус круга ($r$), вписанного в равносторонний треугольник, связан со стороной треугольника формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Найдем радиус:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi r^2$
Подставим значение радиуса:
$S_{круга} = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см².
Теперь найдем искомое отношение площади круга к площади треугольника:
$\frac{S_{круга}}{S_{треуг}} = \frac{3\pi}{9\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$
Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\pi \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$
Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

2) Для нахождения отношения площади круга к площади квадрата, в который он вписан, необходимо найти обе площади.
Пусть сторона квадрата $a = 8$ см.
Площадь квадрата ($S_{квад}$) вычисляется по формуле:
$S_{квад} = a^2$
Подставим значение стороны:
$S_{квад} = 8^2 = 64$ см².
Для круга, вписанного в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата ($d=a$), а радиус ($r$) равен половине стороны квадрата:
$r = \frac{a}{2}$
Найдем радиус:
$r = \frac{8}{2} = 4$ см.
Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi r^2$
Подставим значение радиуса:
$S_{круга} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см².
Теперь найдем искомое отношение площади круга к площади квадрата:
$\frac{S_{круга}}{S_{квад}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.