Номер 32.2, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.2. На отрезок длиной в 1 см наугад брошена точка. Какова вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит $ \frac{1}{4} $?

32.2. Данная задача решается с помощью методов геометрической вероятности. В качестве пространства элементарных исходов выступает отрезок длиной 1 см. Мы можем представить этот отрезок на числовой оси как интервал $[0, 1]$. Общая мера (длина) этого пространства равна $L_{общ} = 1$.

Пусть $x$ — это координата точки, случайно брошенной на отрезок $[0, 1]$. Значение $x$ является случайной величиной, равномерно распределенной на этом отрезке.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит $\frac{1}{4}$.

Концы отрезка имеют координаты 0 и 1.

• Расстояние от точки с координатой $x$ до левого конца (0) равно $x$.
• Расстояние от точки с координатой $x$ до правого конца (1) равно $1 - x$.

Таким образом, условия задачи можно записать в виде системы неравенств:

$x > \frac{1}{4}$

$1 - x > \frac{1}{4}$

Решим второе неравенство относительно $x$:

$1 - \frac{1}{4} > x$

$\frac{3}{4} > x$, или $x < \frac{3}{4}$

Чтобы событие произошло, координата точки $x$ должна удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Это означает, что $x$ должна находиться в интервале, где выполняются оба условия: $\frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}$.

Этот интервал $(\frac{1}{4}, \frac{3}{4})$ является множеством благоприятных исходов. Длина (мера) этого интервала равна:

$L_{благ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Наглядно это можно представить на схеме:

Вероятность $P$ искомого события равна отношению длины интервала благоприятных исходов к общей длине отрезка:

$P = \frac{L_{благ}}{L_{общ}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$