Номер 32.8, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32.8. В шар, длина радиуса которого равна 3 см, наугад брошена точка В. Найдите вероятность того, что эта точка не попадает в шар, находящийся внутри первого шара, длина радиуса которого равна 2 см.

Для решения этой задачи используется подход геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно брошенная точка окажется в некоторой области, равна отношению меры (в данном случае, объема) этой области к мере всей области, в которую бросается точка.

Пусть $R$ — это радиус большого шара, а $r$ — радиус малого шара. По условию задачи, $R = 3$ см и $r = 2$ см.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi \cdot (\text{радиус})^3$.

Найдем объемы большого ($V_R$) и малого ($V_r$) шаров:

$V_R = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$

$V_r = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$

Нас интересует вероятность того, что точка B не попадет в малый шар. Это событие является противоположным событию "точка B попадает в малый шар". Удобнее сначала найти вероятность прямого события (попадания в малый шар), а затем вычесть ее из единицы.

Вероятность попадания точки в малый шар ($P_{внутр}$) равна отношению объема малого шара к объему большого шара:

$P_{внутр} = \frac{V_r}{V_R} = \frac{\frac{32}{3}\pi}{36\pi} = \frac{32}{3 \cdot 36} = \frac{32}{108}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$P_{внутр} = \frac{32 \div 4}{108 \div 4} = \frac{8}{27}$

Искомая вероятность того, что точка не попадет в малый шар ($P_{внеш}$), равна:

$P_{внеш} = 1 - P_{внутр} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{27}{27} - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$

Ответ: $\frac{19}{27}$